Правило: идём строго по порядку с IMO 1982 P1. У каждой задачи — скор баянности 0–100 (0 — абсолютный уникум, 100 — полный баян). Зелёных кружков со временем должно становиться реже, а ★ — самые небаянные.
\(f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}_{\ge 0}\) с \(f(m+n)-f(m)-f(n) \in \{0,1\}\); \(f(2) = 0\), \(f(3) > 0\), \(f(9999) = 3333\). Найти \(f(1982)\).
Почему не баян: первая задача окна, сравнивать не с чем. Задаёт тон: дефект аддитивности + рост.
Неравнобедренный \(\triangle A_1A_2A_3\); \(M_i\) — середины сторон, \(T_i\) — точки касания вписанной, \(S_i\) — отражения \(T_i\) через внутренние биссектрисы. Доказать: \(M_1S_1, M_2S_2, M_3S_3\) пересекаются в одной точке.
Почему не баян: точек Нагеля через отражения касаний в окне не было. Середины + чевианы Нагеля — новый приём.
Убывающие положительные \(x_i\), \(x_0 = 1\). (a) При некотором \(n\): \(\frac{x_0^2}{x_1}+\dots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n} \ge 3.999\). (b) Есть последовательность, где все такие суммы \(< 4\).
Почему не баян: точных порогов рядов с конструкцией в окне не было. Телескоп \(x_{i-1}-x_i\) + геометрическая — новый приём.
Если \(x^3-3xy^2+y^3 = n\) разрешимо в целых, то решений хотя бы три. При \(n = 2891\) решений нет.
Почему не баян: норм кубических форм с группой единиц в окне не было. Умножение на единицу + орбиты — новый приём.
Диагонали \(AC, CE\) правильного шестиугольника \(ABCDEF\) делятся точками \(M, N\): \(\frac{AM}{AC} = \frac{CN}{CE} = r\). При каком \(r\) точки \(B, M, N\) коллинеарны?
Почему не баян: Менелая на правильном шестиугольнике в окне не было. Координаты/Менелай — новый приём.
Квадрат \(100 \times 100\); тропа \(L\) без самопересечений, каждая точка границы в \(1/2\) от \(L\). Доказать: есть \(X, Y \in L\) на расстоянии \(\le 1\) с длиной дуги \(L\) между ними \(\ge 198\).
Почему не баян: плотных кривых с длинной возвратной дугой в окне не было. Разбиение на куски + Дирихле — новый приём.
Найти все \(f: \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+\) с \(f(xf(y)) = yf(x)\) и \(f(x) \to 0\) при \(x \to +\infty\).
Почему не баян: предшественник 1982 P1 — тот же жанр функциональных уравнений, но там целочисленная почти-аддитивность через дефект, а тут мультипликативное уравнение с отбором через асимптотику. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
\(K\) — точка пересечения окружностей \(W_1, W_2\) с центрами \(O_1, O_2\). Общие касательные встречают окружности в \(P_1, P_2\) и \(Q_1, Q_2\); \(M_1, M_2\) — середины \(P_1Q_1, P_2Q_2\). Доказать \(\angle O_1KO_2 = \angle M_1KM_2\).
Почему не баян: предшественник 1982 P2 — тоже замечательные точки треугольника, но там конкурентность Нагеля через Чеву, а тут углы через гомотетию двух окружностей. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
Попарно взаимно простые \(a, b, c\). Доказать, что \(2abc-ab-bc-ca\) — наибольшее целое, непредставимое как \(xbc+yca+zab\) с целыми \(x, y, z \ge 0\).
Почему не баян: предшественник 1982 P4 — тоже трудная теория чисел, но там нормы кубических форм с группой единиц, а тут монетный Фробениус через послойную редукцию. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
\(E\) — граница равностороннего \(\triangle ABC\). Верно ли, что при любом разбиении \(E\) на два множества найдётся прямоугольный треугольник с вершинами в одном множестве?
Почему не баян: предшественник 1982 P6 — тот же жанр комбинаторики существования через Дирихле, но там возврат плотной тропы, а тут монохром на континууме через середины сторон. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
Верно ли, что в \(\{1,\dots,10^5\}\) есть подмножество из 1983 элементов без трёх подряд идущих членов никакой арифметической прогрессии?
Почему не баян: задач о плотностях без АП в окне не было. Жадная конструкция + оценка сверху — новый приём.
\(a, b, c\) — стороны треугольника. Доказать \(a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a) \ge 0\) и найти случаи равенства.
Почему не баян: предшественник 1982 P3 — тоже точное неравенство с порогом, но там ряд с конструкцией границы 4, а тут циклика на сторонах через упорядочивание. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
Неотрицательные \(x, y, z\) с \(x+y+z = 1\). Доказать \(0 \le xy+yz+zx-2xyz \le \frac7{27}\).
Почему не баян: предшественник 1983 P6 — тоже неравенство, но там циклическая сумма на сторонах треугольника через упорядочивание, а тут симметричная функция с границами через uvw. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
Найти натуральные \(a, b\): ни одно из \(a, b, a+b\) не делится на 7, но \((a+b)^7-a^7-b^7\) делится на \(7^7\).
Почему не баян: предшественник 1983 P3 — тоже теория чисел, но там монетный Фробениус через слои, а тут подъём показателя через бином Ньютона с подбором. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
Плоскость раскрашена в конечное число цветов. Для \(X \ne O\): \(\alpha(X)\) — угол \(AOX\), \(C(X)\) — окружность центра \(O\) радиуса \(OX + \alpha(X)/OX\). Доказать: есть \(X\) с \(\alpha(X) > 0\), чей цвет встречается на \(C(X)\).
Почему не баян: предшественник 1983 P4 — тот же жанр рамсеевских раскрасок, но там монохром на континууме через середины, а тут бесконечная цепочка против конечности цветов. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
Выпуклый \(ABCD\): круг на диаметре \(AB\) касается прямой \(CD\). Доказать: круг на диаметре \(CD\) касается \(AB\) тогда и только тогда, когда \(BC \parallel AD\).
Почему не баян: предшественник 1983 P2 — тоже геометрия окружностей с касательными, но там углы через гомотетию двух кругов, а тут касание «диаметр–прямая» через проекции и трапецию. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
\(d\) — сумма всех диагоналей выпуклого \(n\)-угольника (\(n > 3\)), \(p\) — периметр. Доказать \(\frac{n-3}2 < \frac{d}{p} < \frac12\left(\left[\frac{n}2\right]\left[\frac{n+1}2\right]-2\right)\).
Почему не баян: оценок суммы диагоналей через периметр в окне не было. Неравенство треугольника по всем парам — новый приём.
Нечётные \(a < b < c < d\) с \(ad = bc\), \(a+d = 2^k\), \(b+c = 2^m\). Доказать \(a = 1\).
Почему не баян: предшественник 1983 P3 — тоже теория чисел со взаимной простотой, но там монетный Фробениус, а тут пропорция со степенями двойки. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
Вписанный четырёхугольник \(BCDE\); окружность с центром на \(ED\) касается трёх остальных сторон. Доказать \(EB+CD = ED\).
Почему не баян: предшественник 1984 P4 — тоже геометрия касания окружностей, но там эквивалентность через трапецию, а тут сложение отрезков через касательные длины. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
Числа \(\{1,\dots,n-1\}\) (\(n \ge 3\)) красятся в два цвета: (i) \(i\) и \(n-i\) одного цвета; (ii) для некоторого \(j\), взаимно простого с \(n\), числа \(i\) и \(|j-i|\) одного цвета. Доказать: всё одного цвета.
Почему не баян: предшественник 1984 P3 — тот же жанр раскрасок с бесконечностью против конечности, но там спиральная окружность, а тут орбиты группы симметрий через НОД. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
Вес \(w(p)\) многочлена с целыми коэффициентами — число его нечётных коэффициентов; \(q_i(x) = (1+x)^i\). Для \(i_1 < \dots < i_n\) доказать \(w(q_{i_1}+\dots+q_{i_n}) \ge w(q_{i_1})\).
Почему не баян: двоичных весов многочленов в окне не было. Биномиальные коэффициенты по модулю 2 + старшинство — новый приём.
Множество \(M\) из 1985 натуральных чисел, ни у одного нет простого делителя \(> 26\). Доказать: есть четыре различных элемента с целым средним геометрическим.
Почему не баян: предшественник 1984 P2 — тоже теория чисел про форсированную делимость, но там подъём через бином Ньютона, а тут ящики чётности показателей с Дирихле. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
Окружность с центром \(O\) через \(A, C\) пересекает \(AB, BC\) в \(K, N\). Описанные окружности \(ABC\) и \(KBN\) пересекаются в \(B\) и \(M\). Доказать \(\angle OMB = 90^\circ\).
Почему не баян: предшественник 1984 P4 — тоже геометрия окружностей, но там касание «диаметр–прямая» через трапецию, а тут точка Микеля как центр спирального подобия. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
\(f_1(x) = x\), \(f_{n+1}(x) = f_n(x)^{f_n(x)+1/n}\) при \(x > 0\). Доказать: существует ровно одно \(a > 0\) с \(0 < f_n(a) < f_{n+1}(a) < 1\) для всех \(n\).
Почему не баян: функциональных итераций с монотонным порогом в окне не было. Неподвижная точка оператора + сэндвич — новый сюжет.
У \(\{2,5,13\}\) свойство: \(ab-1\) — точный квадрат для всех различных \(a, b\). Доказать, что никакое \(d \notin S\) его не сохраняет.
Почему не баян: предшественник 1985 P4 — тоже теория чисел про мультипликативную структуру, но там ящики чётности показателей, а тут модульное решето на квадратах \(ab-1\). Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
Человек идёт из \(P_0\) в \(A\), поворачивает на \(60^\circ\) влево, идёт столько же до \(P_1\); повторяет вокруг \(A,B,C,A,\dots\). После 1986 шагов вернулся в старт. Доказать: \(ABC\) равносторонний против часовой стрелки.
Почему не баян: предшественник 1985 P5 — тоже геометрия окружностей с вращениями, но там точка Микеля через chase углов, а тут композиция поворотов через комплексные числа. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
В вершинах пятиугольника целые \(x_i\) с суммой \(> 0\). Операция: выбрать отрицательное \(x_i\), заменить на \(-x_i\) и прибавить старое значение соседям. Повторять, пока есть отрицательные. Обязан ли процесс остановиться?
Почему не баян: чиповых процессов с вопросом терминации в окне не было. Монотонный потенциал vs зацикливание — новый сюжет.
\(A, B\) — соседние вершины правильного \(n\)-угольника, \(O\) — центр. Треугольник \(ABO\) скользит вершинами \(A, B\) по периметру. Какую фигуру описывает \(O\)?
Почему не баян: кинематических локусов скольжения в окне не было. Дуги + повороты на углах — новый приём.
Найти все \(f: [0,\infty) \to [0,\infty)\) с \(f[xf(y)]f(y) = f(x+y)\), \(f(2) = 0\), \(f(x) \ne 0\) при \(x < 2\).
Почему не баян: предшественник 1985 P6 — тот же жанр функциональных итераций, но там монотонный порог последовательности функций, а тут явное уравнение с нулём-переключателем. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
Верно ли, что любое конечное множество целочисленных точек можно раскрасить в красный/белый так, чтобы на каждой прямой, параллельной осям, числа цветов различались не более чем на 1?
Почему не баян: предшественник 1985 P2 — тот же жанр двуцветных раскрасок, но там симметрии форсируют монохром, а тут балансные ограничения с дискрепансом и контрпримером. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
\(p_n(k)\) — число перестановок \(n\)-множества ровно с \(k\) неподвижными точками. Доказать \(\sum_{k=0}^n k p_n(k) = n!\).
Почему не баян: перестановочных подсчётов в окне нет (в 1986 — ни одного). Двойной подсчёт пар — новый приём.
Продолжение биссектрисы \(AL\) остроугольного \(\triangle ABC\) встречает описанную окружность в \(N\); \(LK \perp AB\), \(LM \perp AC\). Доказать, что площадь \(ABC\) равна площади четырёхугольника \(AKNM\).
Почему не баян: предшественник 1986 P2 — тоже евклидова геометрия с поворотами, но там характеризация равносторонности через обход, а тут равенство площадей через проекции основания биссектрисы. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
Вещественные \(x_1,\dots,x_n\) с \(\sum x_i^2 = 1\). Для целого \(k > 1\) найти целые \(e_i\) (не все 0, \(|e_i| < k\)) с \(|e_1x_1+\dots+e_nx_n| \le \frac{(k-1)\sqrt{n}}{k^n-1}\).
Почему не баян: принципа Дирихле для приближений в окне не было. \(k^n\) сумм против разбиения отрезка — новый приём.
Существует ли \(f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) с \(f(f(n)) = n + 1987\) для всех \(n\)?
Почему не баян: предшественник 1986 P5 — тот же жанр функциональных уравнений, но там явное уравнение с нулём-переключателем, а тут вопрос существования итерации через орбиты и чётность. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
Для каждого \(n \ge 3\) расставить \(n\) точек плоскости: все попарные расстояния иррациональны, а площадь любого невырожденного треугольника на них рациональна.
Почему не баян: предшественник 1986 P6 — тоже комбинаторика точечных множеств, но там балансная раскраска с дискрепансом, а тут теоретико-числовая конструкция через кривую и Герона. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
\(f(x) = x^2+x+p\), \(p \in \mathbb{N}\). Если \(f(0), f(1), \dots, f([p^{p/3}])\) простые, то и \(f(0), \dots, f(p-2)\) простые.
Почему не баян: предшественник 1986 P1 — тоже элементарная теория чисел про специальные значения, но там квадраты \(ab-1\) через модульное решето, а тут распространение простоты через делимость значений многочлена. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
Две концентрические окружности радиусов \(R > r\), \(P\) фиксирована на малой. Хорда \(PA\) малой; \(B, P, C\) коллинеарны на большой, \(BC \perp AP\). (a) При каких \(\angle OPA\) сумма \(BC^2+CA^2+AB^2\) экстремальна? (b) Где лежат середины \(U\) отрезка \(BA\) и \(V\) отрезка \(AC\)?
Почему не баян: предшественник 1987 P2 — тоже геометрия окружности с биссектрисой, но там равенство площадей через проекции, а тут экстремум суммы квадратов через параметризацию углом. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
\(n\) чётно; \(A_1,\dots,A_{n+1}\) по \(n\) элементов, любые два пересекаются ровно по одному, каждый элемент лежит хотя бы в двух множествах. При каких \(n\) элементы объединения можно разметить 0/1 так, чтобы в каждом множестве было ровно \(n/2\) нулей?
Почему не баян: предшественник 1987 P1 — тот же жанр перечислительной комбинаторики, но там подсчёт пар с неподвижными точками, а тут структура инцидентности с балансной разметкой. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
\(f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\): \(f(1) = 1\), \(f(3) = 3\), \(f(2n) = f(n)\), \(f(4n+1) = 2f(2n+1)-f(n)\), \(f(4n+3) = 3f(2n+1)-2f(n)\). Сколько \(n \le 1988\) с \(f(n) = n\)?
Почему не баян: предшественник 1987 P4 — тот же жанр ФУ на \(\mathbb{N}\), но там несуществование итерации через орбиты, а тут явная рекуррента с двоичной структурой. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
Показать, что множество решений \(\sum_{k=1}^{70} \frac{k}{x-k} \ge \frac54\) — объединение непересекающихся полуоткрытых интервалов с суммой длин 1988.
Почему не баян: меры множеств решений рациональных неравенств в окне не было. Телескопирование через асимптоты — новый приём.
\(ABC\) прямоугольный, \(AD\) — высота к гипотенузе. Прямая через инцентры \(\triangle ABD\) и \(\triangle ACD\) пересекает \(AB, AC\) в \(K, L\). Площади \(E = S_{ABC}\), \(E_1 = S_{AKL}\). Доказать \(E/E_1 \ge 2\).
Почему не баян: предшественник 1987 P2 — тоже биссектрисы и площади, но там равенство через проекции основания биссектрисы, а тут отношение площадей через прямую инцентров и подобие. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
Натуральные \(a, b\) с \(ab+1 \mid a^2+b^2\). Доказать, что \(\frac{a^2+b^2}{ab+1}\) — точный квадрат.
Почему не баян: предшественник 1987 P6 — тоже теория чисел с многочленом, но там распространение простоты через делимость значений, а тут бесконечный спуск с перепрыгиванием корня. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
Разбить \(\{1,\dots,1989\}\) на 17 непересекающихся подмножеств: (i) поровну элементов, (ii) с равной суммой в каждом.
Почему не баян: предшественник 1988 P2 — тот же жанр комбинаторных разбиений с балансировкой, но там разметка 0/1 по пересекающимся множествам, а тут равные суммы через комплементарные пары. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
Биссектриса \(A\) встречает описанную окружность в \(A_1\) (аналогично \(B_1, C_1\)); \(A_0\) — пересечение \(AA_1\) с биссектрисами внешних углов при \(B, C\) (аналогично \(B_0, C_0\)). Доказать \(S_{A_0B_0C_0} = 2S_{AC_1BA_1CB_1} \ge 4S_{ABC}\).
Почему не баян: предшественник 1988 P5 — тоже инцентры подтреугольников, но там отношение площадей через подобие, а тут эксцентры с гомотетией и двойной площадью. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
\(S\) — \(n\) точек плоскости: никакие три не коллинеарны, и у каждой точки есть \(\ge k\) равноудалённых от неё точек \(S\). Доказать \(k < \frac12 + \sqrt{2n}\).
Почему не баян: дистанционных оценок через двойной подсчёт в окне не было. Пары на одной окружности, не более двух общих — новый приём.
Выпуклый \(ABCD\): (i) \(AB = AD+BC\); (ii) внутри есть \(P\) на расстоянии \(x\) от \(CD\) с \(AP = x+AD\), \(BP = x+BC\). Доказать \(\frac1{\sqrt{x}} \ge \frac1{\sqrt{AD}} + \frac1{\sqrt{BC}}\).
Почему не баян: предшественник 1988 P1 — тот же жанр экстремальной метрической геометрии, но там экстремум суммы квадратов через угол, а тут неравенство через развёртку и касание окружностей. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
Для каких натуральных \(n\) существует \(N\) такое, что ни одно из чисел \(N+1,\dots,N+n\) не есть степень простого?
Почему не баян: предшественник 1988 P6 — тоже теория чисел про делимость, но там бесконечный спуск с перепрыгиванием корня, а тут покрывающая конструкция через КТО. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
Перестановки \((x_1,\dots,x_{2n})\) множества \(\{1,\dots,2n\}\) с \(|x_i-x_{i+1}| = n\) хотя бы при одном \(i\). При каждом \(n\) выяснить: таких перестановок больше или меньше, чем остальных?
Почему не баян: предшественник 1988 P2 — тот же жанр перечислительной комбинаторики с чётностью, но там существование балансной разметки, а тут сравнение числа перестановок через инволюцию. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
Хорды \(AB, CD\) пересекаются в \(E\); \(M \in AB\), \(M \ne E\). Касательная к \((DEM)\) в \(E\) пересекает \(BC, AC\) в \(F, G\). При \(\frac{AM}{AB} = \lambda\) найти \(\frac{GE}{EF}\).
Почему не баян: предшественник 1989 P2 — тоже геометрия с окружностью и биссектрисами, но там площади эксцентрального треугольника, а тут chase отношений через касательную-хорду. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
На окружности \(2n-1\) точек (\(n \ge 3\)). Найти минимальное \(N\): при покраске любых \(N\) из них в чёрный найдутся две чёрные точки, на одной из дуг между которыми ровно \(n\) данных точек.
Почему не баян: предшественник 1989 P3 — тот же приём двойного подсчёта пар, но там оценка числа равноудалённых точек, а тут точный порог на окружности с конструкцией. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
Найти все натуральные \(n\) с \(n^2 \mid 2^n + 1\).
Почему не баян: предшественник 1989 P5 — тоже теория чисел про степени простых, но там покрывающая конструкция через КТО, а тут порядки и LTE через минимальный делитель. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
\(\mathbb{Q}_+\) — положительные рациональные. Построить \(f: \mathbb{Q}_+ \to \mathbb{Q}_+\) с \(f(xf(y)) = f(x)/y\) для всех \(x, y\).
Почему не баян: конструктивных функциональных уравнений в окне не было. Базис \(\mathbb{Q}_+\) над мультипликативной группой + инволюция — новый сюжет.
Начальное \(n_0 > 1\). A выбирает \(n_{2k+1} \in [n_{2k}, n_{2k}^2]\), затем B выбирает \(n_{2k+2}\) с \(n_{2k+1}/n_{2k+2} = p^r\) (\(p\) простое). A выигрывает, выбрав 1990; B — выбрав 1. Для каких \(n_0\) выигрывает A, для каких B, для каких оба форсируют ничью?
Почему не баян: позиционных игр с теоретико-числовым ходом в окне не было. Разбор по делимости на простые — новый сюжет.
Существует ли 1990-угольник со (i) всеми равными углами и (ii) длинами сторон — перестановкой \(1^2, 2^2, \dots, 1990^2\)?
Почему не баян: предшественник 1989 P4 — тоже метрическая геометрия, но там неравенство через развёртку и касание, а тут замыкание через корни из единицы. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
Для любого треугольника \(ABC\) доказать \(\frac14 < \frac{IA\cdot IB\cdot IC}{l_Al_Bl_C} \le \frac8{27}\), где \(I\) — инцентр, а \(l_A,l_B,l_C\) — длины биссектрис.
Почему не баян: предшественник 1990 P1 — тоже геометрия, но там chase отношений через подобие, а тут тригонометрическое неравенство через полууглы. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
Пусть \(n > 6\) и \(a_1 < a_2 < \dots < a_k\) — все натуральные \(< n\), взаимно простые с \(n\). Если они образуют арифметическую прогрессию, то \(n\) — простое или степень двойки.
Почему не баян: предшественник 1990 P3 — тоже теория чисел, но там порядки и LTE, а тут структура группы вычетов: симметрия \(a \leftrightarrow n-a\) + прогрессия. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
\(S = \{1,2,\dots,280\}\). Найти минимальное \(n\) такое, что любое \(n\)-подмножество \(S\) содержит пять попарно взаимно простых чисел.
Почему не баян: предшественник 1990 P2 — тот же жанр «минимальный порог + точная конструкция», но там диаметральная пара на окружности, а тут пятёрка попарно взаимно простых через покрытие простыми. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
\(G\) — связный граф с \(n\) рёбрами. Доказать, что рёбра можно занумеровать \(1,\dots,n\) так, чтобы в каждой вершине с двумя и более инцидентными рёбрами номера не имели общего делителя \(> 1\).
Почему не баян: конструктивных разметок графов в окне не было. Стянуть числа парами по вершинам — новый приём.
\(ABC\) — треугольник, \(M\) — внутренняя точка. Доказать, что хотя бы один из углов \(\angle MAB\), \(\angle MBC\), \(\angle MCA\) не превосходит \(30^\circ\).
Почему не баян: предшественник 1990 P1 — тоже геометрия, но там отношения отрезков, а тут угловая оценка с внутренней точкой через тригонометрическую Чеву. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
Для вещественного \(a > 1\) построить бесконечную ограниченную последовательность \(x_0,x_1,\dots\) с \(|x_i-x_j|\cdot|i-j|^a \ge 1\) при всех \(i \ne j\).
Почему не баян: конструктивных аналитических последовательностей в окне не было. \(p\)-ичная конструкция с делением отрезка — новый сюжет.
Найти все целые тройки \(1 < p < q < r\) с \((p-1)(q-1)(r-1) \mid pqr-1\).
Почему не баян: предшественник 1991 P2 — тоже теория чисел про взаимную простоту, но там структура группы вычетов, а тут оценка частного делимости. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
Найти все \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) с \(f(x^2+f(y)) = y+f(x)^2\).
Почему не баян: первое функциональное уравнение окна. Каноническая задача жанра — эталон подстановок.
Девять точек в пространстве, никакие четыре не компланарны. Найти минимальное \(n\): при любой красно-синей раскраске \(n\) отрезков между ними есть одноцветный треугольник.
Почему не баян: предшественник 1991 P4 — тоже графы, но там конструктивная нумерация рёбер, а тут рамсеевский подсчёт через степени вершин. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
Окружность \(C\) касается прямой \(\ell\) в точке; \(M \in \ell\). Найти локус точек \(P\) таких, что есть \(Q, R \in \ell\) с серединой \(M\) отрезка \(QR\) и \(C\) — вписанная окружность \(\triangle PQR\).
Почему не баян: предшественник 1991 P1 — тоже геометрия с инцентром, но там неравенство на биссектрисы, а тут локус через касательные длины. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
Конечное множество целочисленных точек \((x,y,z)\); \(S_1,S_2,S_3\) — проекции на координатные плоскости. Доказать \(|V|^2 \le |S_1||S_2||S_3|\).
Почему не баян: проекционных неравенств в окне не было. Двойной подсчёт через слои — новый приём.
\(s(n)\) — наибольшее целое такое, что для всех \(k \le s(n)\) число \(n^2\) есть сумма квадратов \(k\) натуральных. (a) \(s(n) \le n^2-14\) при \(n \ge 4\). (b) Есть \(n\) с равенством. (c) Таких \(n\) бесконечно много.
Почему не баян: представлений суммой квадратов с вопросом достижимости в окне не было. Разбиение \(4 = 1+1+1+1\) как ресурс — новый приём.
Доказать: \(f(x) = x^n+5x^{n-1}+3\) (\(n > 1\)) нельзя разложить в произведение многочленов с целыми коэффициентами степени \(\ge 1\).
Почему не баян: многочленов в окне нет (в 1992 — ни одного). Модульная арифметика корней — впервые.
Точки \(C, D\) по одну сторону от \(AB\); \(AC\cdot BD = AD\cdot BC\), \(\angle ADB = 90^\circ+\angle ACB\). Найти \(\frac{AB\cdot CD}{AC\cdot BD}\) и доказать ортогональность окружностей \(ACD, BCD\).
Почему не баян: предшественник 1992 P4 — тоже геометрия с окружностью, но там локус, а тут спираль с ортогональностью. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
На бесконечной доске \(n^2\) шашек квадратом \(n \times n\). Ход: прыжок по горизонтали/вертикали через занятую клетку на свободную; перепрыгнутая снимается. При каких \(n\) можно остаться с одной шашкой?
Почему не баян: игр со снятием в окне не было. Инвариант раскраски + конструкция — новый сюжет.
\(m(ABC)\) — минимальная высота треугольника (0 при коллинеарности). Доказать: для любой точки \(X\) выполнено \(m(ABC) \le m(ABX)+m(AXC)+m(XBC)\).
Почему не баян: неравенств с геометрической функцией точки в окне не было. Разбор положения \(X\) — новый приём.
Существует ли строго растущая \(f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) с \(f(1) = 2\) и \(f(f(n)) = f(n)+n\)?
Почему не баян: предшественник 1992 P2 — тоже ФУ, но на \(\mathbb{R}\) через квадраты, а тут итерация с ростом на \(\mathbb{N}\). Скор поднят с 25 до 32 после расширения окна.
\(n\) ламп по кругу, все горят. Шаг \(j\): если \(L_{j-1}\) горит — переключить \(L_j\), иначе ничего. (a) Есть \(M(n)\): через \(M(n)\) шагов всё снова горит. (b) При \(n = 2^k\) хватит \(n^2-1\) шагов. (c) При \(n = 2^k+1\) хватит \(n^2-n+1\).
Почему не баян: детерминированных процессов на цикле в окне не было. Двоичная структура шагов — новый приём.
\(A = \{a_1,\dots,a_m\} \subset \{1,\dots,n\}\): если \(a_i+a_j \le n\), то \(a_i+a_j \in A\). Доказать \(\frac{a_1+\dots+a_m}{m} \ge \frac{n+1}{2}\).
Почему не баян: замкнутых множеств с усреднением в окне нет (в 1993 — ни одного). Спаривание к середине — впервые.
\(N\) на биссектрисе \(\angle BAC\); \(P \in AB\), \(O \in AN\) с \(\angle ANP = \angle APO = 90^\circ\). \(Q\) — любая точка на \(NP\); прямая через \(Q\) встречает \(AB, AC\) в \(E, F\). Доказать: \(\angle OQE = 90^\circ \iff QE = QF\).
Почему не баян: предшественник 1993 P2 — тоже геометрия с пропорцией, но там спираль и ортогональность, а тут эквивалентность «угол ⟺ равенство». Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
\(A_k\) — числа из \((k,2k]\) с ровно тремя единицами в двоичной записи; \(f(k) = |A_k|\). (a) Каждое \(m\) встречается как \(f(k)\). (b) При каких \(m\) значение единственно?
Почему не баян: двоичных цифр в окне не было. Подсчёт через битовые комбинации — новый приём.
Найти все натуральные \((m,n)\) с \(\frac{n^3+1}{mn-1} \in \mathbb{Z}\).
Почему уникум: первое появление спуска Виета на IMO — приёма, который потом будут переоткрывать десятилетиями (2003 P2, 2007 P5 — его прямые наследники). Сюжет единственный в своём роде.
Найти все \(f: (-1,\infty) \to (-1,\infty)\) с \(f(x+f(y)+xf(y)) = y+f(x)+yf(x)\) и \(f(x)/x\) строго растущей на \((-1,0)\) и на \((0,\infty)\).
Почему не баян: предшественник 1993 P5 — тоже ФУ на натуральных, но там итерация с ростом, а тут монотонность отношения на интервале. Скор поднят с 25 до 32 после расширения окна.
Найти множество натуральных \(A\) такое, что для любого бесконечного множества простых \(P\) есть \(m \in A\) и \(n \notin A\) — оба произведения \(\ge 2\) различных элементов \(P\) в одинаковом количестве.
Почему не баян: конструкций «против всех бесконечных множеств простых» в окне не было. Диагональный аргумент — новый приём.
Точки \(A,B,C,D\) на прямой по порядку. Окружности с диаметрами \(AC, BD\) пересекаются в \(X, Y\); \(O\) — любая точка на \(XY\) вне \(AD\). \(CO\) встречает первую окружность в \(M\), \(BO\) — вторую в \(N\). Доказать: \(AM, DN, XY\) конкурентны.
Почему не баян: предшественник 1994 P2 — тоже уголковая геометрия, но там эквивалентность, а тут степени точки и радикальная ось. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
\(a,b,c > 0\), \(abc = 1\). Доказать \(\frac{1}{a^3(b+c)} + \frac{1}{b^3(c+a)} + \frac{1}{c^3(a+b)} \ge \frac{3}{2}\).
Почему не баян: первое неравенство окна. Знаменитая задача — эталон замены \(abc=1\).
Найти все \(n > 3\), для которых есть \(n\) точек (никакие три не коллинеарны) и числа \(p_i\) такие, что площадь \(\triangle A_iA_jA_k\) равна \(p_i+p_j+p_k\).
Почему не баян: площадей-потенциалов в окне не было. Алгебраизация геометрии через потенциалы — новый язык.
Положительные \(x_0,\dots,x_{1995}\) с \(x_0 = x_{1995}\) и \(x_{i-1}+\frac{2}{x_{i-1}} = 2x_i+\frac{1}{x_i}\). Найти максимум возможного \(x_0\).
Почему не баян: циклических рекуррентностей в окне не было. Монотонность функции \(t+2/t\) против \(2t+1/t\) — новый приём.
Выпуклый \(ABCDEF\): \(AB = BC = CD\), \(DE = EF = FA\), \(\angle BCD = \angle EFA = 60^\circ\). Внутри \(G, H\) с \(\angle AGB = \angle DHE = 120^\circ\). Доказать \(AG+GB+GH+DH+HE \ge CF\).
Почему не баян: ферма-цепочек в окне не было. Повороты на \(60^\circ\) выпрямляют ломаную — новый приём.
\(p\) нечётное простое. Сколько \(p\)-элементных подмножеств \(\{1,\dots,2p\}\) имеют сумму, делящуюся на \(p\)?
Почему не баян: предшественник 1994 P3 — тоже подсчёт с битами, но там прямой, а тут модульный фильтр через корни из единицы. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
Доска \(20 \times 12\); ход — в клетку на расстоянии \(\sqrt{r}\) между центрами. Путь из угла \(A\) в угол \(B\). (a) При \(r \vdots 2\) или \(r \vdots 3\) нельзя. (b) При \(r = 73\) можно. (c) А при \(r = 97\)?
Почему не баян: досочных задач в окне нет (в 1995 — ни одной доски). Раскраска + теория чисел на доске — впервые.
Внутренняя \(P\) в \(\triangle ABC\) с \(\angle APB - \angle C = \angle APC - \angle B\). \(D, E\) — инцентры \(\triangle APB, \triangle APC\). Доказать: \(AP, BD, CE\) конкурентны.
Почему не баян: предшественник 1995 P1 — тоже окружности с конкурентностью, но без треугольника и инцентров. Угловое условие + инцентры — новые. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
Найти все \(f: \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0\) с \(f(m+f(n)) = f(f(m))+f(n)\).
Почему не баян: предшественник 1994 P5 — тоже ФУ, но там монотонность отношения на \((-1,\infty)\), а тут сдвиг с аддитивностью на \(\mathbb{N}_0\). Скор поднят с 25 до 32 после расширения окна.
Натуральные \(a, b\): \(15a+16b\) и \(16a-15b\) — квадраты. Найти минимум возможного меньшего из них.
Почему не баян: первая квадратичная теория чисел окна. Линейные формы в квадратах — новый объект.
Выпуклый \(ABCDEF\): \(AB \parallel DE\), \(BC \parallel EF\), \(CD \parallel FA\). \(R_A, R_C, R_E\) — радиусы описанных \(FAB, BCD, DEF\); \(P\) — периметр. Доказать \(R_A+R_C+R_E \ge P/2\).
Почему не баян: предшественник 1995 P5 — тоже метрический шестиугольник, но там цепочка Ферма с поворотами, а тут радиусы через синусы. Скор поднят с 25 до 35 после расширения окна.
Целые \(x_0 = x_n = 0\); каждый шаг \(+p\) или \(-q\) (\(p+q < n\)). Доказать: есть повтор \(x_i = x_j\) кроме пары \((0,n)\).
Почему не баян: прогулок с возвратом в окне не было. Дирихле на частичных суммах — новый приём.
Бесконечная сетка раскрашена в шахматном порядке. Для \(m, n\) рассмотреть прямоугольный треугольник с вершинами в узлах и катетами \(m, n\) вдоль линий; \(S_b, S_w\) — чёрная/белая площади, \(f(m,n) = |S_b-S_w|\). (a) Найти \(f\) при одинаковой чётности \(m, n\). (b) Доказать \(f(m,n) \le \frac12\max(m,n)\). (c) Показать неограниченность \(f\).
Почему не баян: предшественник 1996 P1 — тоже доска с раскраской, но там достижимость ходов, а тут измерение площади. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
В \(\triangle ABC\) угол \(A\) наименьший. Прямая через \(A\) встречает описанную в \(U\) (дуга \(BC\) против \(A\)). Серединные перпендикуляры к \(CA, AB\) встречают \(AU\) в \(V, W\); прямые \(CV, BW\) пересекаются в \(T\). Доказать \(AU = TB+TC\).
Почему не баян: предшественник 1996 P2 — тоже треугольник с длинами, но там инцентры и Чева, а тут сумма отрезков через серединные перпендикуляры. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
Вещественные \(x_1,\dots,x_n\) с \(|\sum x_i| = 1\) и \(|x_i| \le \frac{n+1}{2}\). Доказать: есть перестановка \(y_i\) с \(|y_1+2y_2+\dots+ny_n| \le \frac{n+1}{2}\).
Почему не баян: перестановок с весовой оценкой в окне не было. Жадный порядок + телескопирование — новый приём.
Матрица \(n \times n\) с элементами \(1..2n-1\) серебряная, если для каждого \(i\) объединение \(i\)-й строки и \(i\)-го столбца даёт \(2n-1\) различных чисел. (a) При \(n = 1997\) серебряных нет. (b) Для бесконечно многих \(n\) есть.
Почему не баян: комбинаторных конструкций с запретом в окне не было. Чёт/нечет \(n\) как детектор — новый сюжет.
Найти все натуральные \(x, y \ge 1\) с \(x^{y^2} = y^x\).
Почему не баян: предшественник 1996 P4 — тоже «найти пары» с квадратами, но там линейные формы, а тут показатели через простые. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
\(f(n)\) — число представлений \(n\) суммой степеней двойки (порядок не важен). Доказать \(2^{n^2/4} < f(2^n) < 2^{n^2/2}\) при \(n \ge 3\).
Почему не баян: подсчёта разбиений в окне не было. Двусторонняя оценка через конструкцию и инъекцию — новый сюжет.
В выпуклом \(ABCD\) диагонали перпендикулярны; серединные перпендикуляры к \(AB\) и \(CD\) пересекаются в единственной внутренней точке \(P\). Доказать: \(ABCD\) вписанный iff площади \(\triangle ABP\) и \(\triangle CDP\) равны.
Почему не баян: предшественник 1997 P2 — тоже треугольная геометрия, но с другим приёмом (сумма отрезков, а не площади). Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
\(m\) кандидатов, \(n \ge 3\) нечётных судей; каждый ставит зачёт/незачёт. Любая пара судей совпадает не более чем на \(k\) кандидатах. Доказать \(\frac{k}{m} \ge \frac{n-1}{2n}\).
Почему не баян: подсчётных неравенств в окне не было. Усреднение по парам судей — новый приём.
\(\tau(n)\) — число делителей. Найти все \(m\), для которых есть \(n\) с \(\frac{\tau(n^2)}{\tau(n)} = m\).
Почему не баян: арифметических функций в окне не было. Вопрос о множестве значений отношения — новый.
Найти все натуральные \((x,y)\) с \(x^2y+x+y \vdots xy^2+y+7\).
Почему перекличка: после расширения окна назад выяснилось: спуск Виета уже открыт в 1994 P4. Семёрка ломает симметрию, но метод — тот же спуск. Бейдж сменён с НЕ БАЯН · 35.
\(I\) — инцентр \(ABC\); касания вписанной с \(AB, BC, CA\) — \(K, L, M\). Прямая \(t\) через \(B \parallel KL\); прямые \(MK, ML\) встречают \(t\) в \(R, S\). Доказать: \(\angle RIS\) острый.
Почему не баян: инцентра в окне ещё не было (в 1997 P2 — серединные перпендикуляры без него). Конфигурация с параллелью через вершину — новая. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
Найти минимальное возможное \(f(1998)\) для \(f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) с \(f(n^2f(m)) = m\,f(n)^2\).
Почему не баян: предшественник 1996 P3 — тоже ФУ на натуральных, но там сдвиг и аддитивность, а тут мультипликативность и вопрос про значение в точке. Скор поднят с 25 до 32 после расширения окна.
Множество точек \(S\) (|S| ≥ 3) вполне симметрично, если для любых разных \(A, B \in S\) серединный перпендикуляр к \(AB\) — ось симметрии \(S\). Доказать: конечное вполне симметричное множество — вершины правильного многоугольника.
Почему не баян: предшественник 1998 P1 — тоже геометрия, но с другим приёмом (площади, а не группы симметрий). Симметрия как группа тут впервые.
При фиксированном \(n \ge 2\) найти наименьшее \(C\) с \(\sum_{i Почему не баян: предшественник 1998 P2 — тоже неравенство, но подсчётное, а тут аналитическое с наилучшей константой. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
\(n\) чётно; клетки \(n \times n\) доски, соседство по стороне. Найти минимум помеченных клеток так, чтобы у каждой клетки (помеченной или нет) был помеченный сосед.
Почему не баян: доминации на доске в окне не было. Оценка + конструкция — новый сюжет.
Найти все пары натуральных \((x,p)\) с простым \(p\), \(x \le 2p\) и \(x^{p-1} \mid (p-1)^x+1\).
Почему не баян: предшественник 1998 P4 — тоже «найти пары через делимость», но там спуск, а тут LTE и показатель против основания. Скор поднят с 25 до 35 после расширения окна.
Окружности \(\Omega_1, \Omega_2\) внутри \(\Omega\) касаются её в \(M, N\); центр \(\Omega_2\) лежит на \(\Omega_1\). Общая хорда \(\Omega_1, \Omega_2\) пересекает \(\Omega\) в \(A, B\); \(MA, MB\) встречают \(\Omega_1\) в \(C, D\). Доказать: \(\Omega_2\) касается \(CD\).
Почему не баян: предшественник 1998 P5 — тоже инцентр-окружности, но там параллель и угол, а тут гомотетия и хорда. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
Найти все \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) с \(f(x-f(y)) = f(f(y)) + xf(y) + f(x) - 1\).
Почему не баян: предшественник 1998 P6 — тоже ФУ, но на \(\mathbb{N}\) через оценки, а тут на \(\mathbb{R}\) через сдвиг и инъективность. Скор поднят с 25 до 32 после расширения окна.
Две окружности \(G_1, G_2\) пересекаются в \(M\) и \(N\). Общая касательная \(AB\) (\(A, B\) — точки касания, \(M\) ближе к \(AB\), чем \(N\)). Через \(M\) проведена прямая \(CD \parallel AB\) (\(C\) на \(G_1\), \(D\) на \(G_2\)). Прямые \(AC\) и \(BD\) пересекаются в \(E\); \(AN\) пересекает \(CD\) в \(P\); \(BN\) пересекает \(CD\) в \(Q\). Доказать \(EP = EQ\).
Почему не баян: предшественник 1999 P5 — тоже касающиеся окружности, но приём (гомотетия + параллель) новый. Скор поднят с 25 до 30 после расширения окна.
\(a,b,c > 0\), \(abc = 1\). Доказать \(\left(a-1+\frac{1}{b}\right)\left(b-1+\frac{1}{c}\right)\left(c-1+\frac{1}{a}\right) \le 1\).
Почему перекличка: после расширения окна назад выяснилось: неравенство уже было в 1999 P2 годом ранее. Подстановка \(a = x/y,\dots\) новая, но жанр повторён сразу. Бейдж сменён с НЕ БАЯН · 25.
\(n \ge 2\) блох на прямой, не все в одной точке. Ход: выбрать блох в \(A\) левее \(B\), перепрыгнуть из \(A\) через \(B\) в \(C\) так, что \(\frac{BC}{AB} = \lambda\). При каких \(\lambda\) для любой точки \(M\) и любой стартовой конфигурации можно увести всех блох правее \(M\)?
Почему уникум: дискретная динамика с параметром — класс, которого нет ни до, ни рядом в окне. Такую постановку ни с чем не спутать.
100 карточек \(1..100\) раскладывают в 3 коробки (красная, белая, синяя), каждая непуста. Зритель выбирает 2 коробки, берёт по карточке из каждой и называет сумму. По сумме фокусник определяет, из какой коробки карт не брали. Сколькими способами можно разложить карточки, чтобы фокус всегда работал?
Почему уникум: перевод «фокуса» в дизъюнктность множеств попарных сумм \(A+B,\ B+C,\ C+A\) — сюжет единственный в своём роде.
Существует ли \(n\) с ровно \(2000\) простых делителей такое, что \(n \mid 2^n + 1\)?
Почему не баян: первая теоретико-числовая конструкция в окне: рекурсивное добавление простых через делители чисел вида \(2^k+1\).
Высоты \(AH_1, BH_2, CH_3\) остроугольного \(ABC\). Вписанная окружность \(\omega\) касается \(BC, CA, AB\) в \(T_1, T_2, T_3\). Отразить прямые \(H_1H_2, H_2H_3, H_3H_1\) относительно \(T_1T_2, T_2T_3, T_3T_1\). Доказать: образы образуют треугольник с вершинами на \(\omega\).
Почему не баян: геометрия как в P1, но приём другой — ортотреугольник + контактный треугольник + отражения.
Остроугольный \(ABC\), \(P\) — основание высоты из \(A\), \(O\) — центр описанной. Известно \(\angle C \ge \angle B + 30^\circ\). Доказать \(\angle A + \angle COP < 90^\circ\).
Почему перекличка: снова «высоты + замечательные точки + оценка углов». Нового приёма нет: \(\angle COP\) выражается через разность \(\angle B\) и \(\angle C\).
\(a,b,c > 0\). Доказать \(\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}} + \frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}} + \frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}} \ge 1\).
Почему перекличка: второе подряд симметричное неравенство (однородность, сумма дробей). Знаменитое, но в окне — баян по жанру.
21 девочка и 21 мальчик решали задачи. Каждый решил \(\le 6\) задач; для любой пары (девочка, мальчик) есть задача, решённая обоими. Доказать: есть задача, решённая \(\ge 3\) девочками и \(\ge 3\) мальчиками.
Почему не баян: двудольная инцидентность «решил задачу» — новый объект. Ни блохи, ни коробки такого не давали.
\(m > 1\) нечётно; \(n_1..n_m\) целые. Для перестановки \(x\) чисел \(1..m\) пусть \(f(x) = \sum x_i n_i\). Доказать: найдутся две разные перестановки \(a,b\) с \(f(a) - f(b) \vdots m!\).
Почему не баян: смесь симметрической группы и модульной арифметики — впервые в окне.
В \(ABC\) точка \(X\) на \(BC\), \(AX\) — биссектриса \(A\); \(Y\) на \(CA\), \(BY\) — биссектриса \(B\). \(\angle A = 60^\circ\), \(AB + BX = AY + YB\). Найти все возможные значения \(\angle B\).
Почему не баян: условие на суммы длин с биссектрисами — новый приём (склейка отрезков). Угловой chase тут вторичен.
\(k > l > m > n\) — целые положительные, \(km + ln = (k+l-m+n)(-k+l+m+n)\). Доказать, что \(kl + mn\) — составное.
Почему перекличка: снова «нетривиальный делитель из алгебраического тождества» — парный урок к 2000 P5 (там строили простые, тут — делитель).
\(S = \{(h,k): h,k \ge 0,\ h+k < n\}\). Каждая точка красная/синяя; если \((h,k)\) красная и \(h' \le h,\ k' \le k\), то \((h',k')\) тоже красная. Подмножество типа 1 — \(n\) синих с разными первыми координатами; типа 2 — \(n\) синих с разными вторыми. Доказать: количеств типа 1 и типа 2 равны.
Почему перекличка: снова конечная комбинаторика с подсчётом структур. Новое — идеал/антицепь, но жанр тот же.
\(BC\) — диаметр окружности с центром \(O\). \(A\) на окружности. \(EF\) — хорда, серединный перпендикуляр к \(AO\). \(D\) — середина малой дуги \(AB\). Прямая через \(O \parallel AD\) пересекает \(AC\) в \(J\). Доказать: \(J\) — инцентр \(\triangle CEF\).
Почему перекличка: четвёртая геометрия на «замечательные точки + параллель», словарь уже виден. Новое лишь оформление (инцентр).
Найти все \(m,n \ge 3\), для которых существует бесконечно много \(a\) с \(\frac{a^m+a-1}{a^n+a^2-1} \in \mathbb{Z}\).
Почему перекличка: снова «делимость + бесконечная серия», как 2000 P5 и 2001 P6. Новое — сравнение степеней, но вкус тот же.
\(n > 1\), \(1 = d_1 < d_2 < \dots < d_r = n\) — все делители. Доказать \(d = d_1d_2 + d_2d_3 + \dots + d_{r-1}d_r < n^2\).
Почему не баян: первая в окне оценка суммы по делителям через симметрию. Конструкции простых из P5/P6 тут не работают.
Найти все \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) с \((f(x)+f(z))(f(y)+f(t)) = f(xy-zt) + f(xt+yz)\) для всех \(x,y,z,t\).
Почему уникум: первое функциональное уравнение в окне, и сразу с секретной структурой: правая часть — модуль комплексного произведения. Такого объекта не было и рядом.
\(C_1..C_n\) — единичные круги с центрами \(O_i\); никакая прямая не пересекает больше двух кругов. Доказать \(\sum_{i Почему не баян: геометрия, но приём — метрическая оценка через углы видимости, а не chase/инцентр. Такого в окне не было.
\(S = \{1, 2, \dots, 1000000\}\), \(A \subset S\), \(|A| = 101\). Доказать: найдутся 100 различных \(x_i \in S\) таких, что множества \(x_i + A = \{a + x_i \mid a \in A\}\) попарно не пересекаются.
Почему перекличка: снова конечная комбинаторика «разложить непересекающимся образом», как коробки 2000 P4 и пары 2001 P3. Новое — сдвиги, но жанр тот же.
Найти все пары натуральных \((m,n)\) таких, что \(\frac{m^2}{2mn^2 - n^3 + 1}\) — целое положительное.
Почему перекличка: после расширения окна назад выяснилось: спуск Виета открыт ещё в 1994 P4. Дробь другая, метод — тот же. Бейдж сменён с НЕ БАЯН · 28.
Выпуклый шестиугольник: для любой пары противолежащих сторон расстояние между их серединами равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), умноженному на сумму их длин. Доказать: все углы шестиугольника равны.
Почему не баян: метрическое условие на середины сторон — объект, которого в геом-кластере не было. Ни chase, ни инцентры тут не работают.
\(ABCD\) вписанный. Основания перпендикуляров из \(D\) на \(AB, BC, CA\) — \(P, Q, R\). Доказать: биссектрисы углов \(ABC\) и \(CDA\) пересекаются на \(AC\) тогда и только тогда, когда \(RP = RQ\).
Почему перекличка: пятая геометрия на замечательные точки; прямая Симсона — классика, в окне словарь «вписанный + основания + равенство отрезков» уже заезжен.
\(n > 2\), \(x_1 \le x_2 \le \dots \le x_n\) вещественные. Доказать \(\left(\sum_{i,j} |x_i - x_j|\right)^2 \le \frac{2}{3}(n^2-1)\sum_{i,j}(x_i - x_j)^2\), равенство iff \(\{x_i\}\) — арифметическая прогрессия.
Почему перекличка: третье симметричное неравенство с характеризацией равенства. Техника (Коши + упорядочивание) уже в словаре окна.
Для каждого простого \(p\) доказать: существует простое \(q\) такое, что \(n^p - p\) не делится на \(q\) ни при каком натуральном \(n\).
Почему не баян: теория чисел, но задача «на избежание», а не на построение делителя. Приём с порядком \(n \bmod q\) и оценкой размера — новый в окне.
Остроугольный \(ABC\), \(AB \ne AC\). Окружность с диаметром \(BC\) пересекает \(AB, AC\) в \(M, N\); \(O\) — середина \(BC\). Биссектрисы углов \(BAC\) и \(MON\) пересекаются в \(R\). Доказать: описанные окружности \(\triangle BMR\) и \(\triangle CNR\) имеют общую точку на отрезке \(BC\).
Почему перекличка: шестая геометрия на «замечательные точки + биссектрисы + общая точка». Словарь окна (основания, середины, биссектрисы) уже полностью заезжен.
Найти все многочлены \(P(x)\) с вещественными коэффициентами такие, что \(P(a-b) + P(b-c) + P(c-a) = 2P(a+b+c)\) для всех вещественных \(a,b,c\) с \(ab+bc+ca = 0\).
Почему перекличка (слабая): второе функциональное уравнение в окне после уникума 2002 P5. Секретной структуры тут нет — честная работа со степенями, но жанр «уравнение на функцию» уже открыт.
Какие прямоугольники \(m \times n\) можно замостить крюками из 6 клеток (повороты и отражения разрешены, без пробелов и наложений, см. рисунок в оригинале)?
Почему не баян: задач на замощение в окне ещё не было — ни раскрасок доски, ни инвариантов покрытия. Новый класс целиком.
\(n \ge 3\), \(t_1,\dots,t_n > 0\) и \(n^2+1 > (t_1+\dots+t_n)\left(\frac{1}{t_1}+\dots+\frac{1}{t_n}\right)\). Доказать: любые \(t_i,t_j,t_k\) — стороны невырожденного треугольника.
Почему не баян: неравенства видели трижды, но вывод «стороны треугольника» из порога \(n^2+1\) — новый ход. Граница 40 пройдена с запасом в 5 — честная пограничная.
В выпуклом \(ABCD\) диагональ \(BD\) не делит пополам ни \(\angle ABC\), ни \(\angle CDA\). Точка \(P\) внутри: \(\angle PBC = \angle DBA\) и \(\angle PDC = \angle BDA\). Доказать: \(ABCD\) вписанный iff \(AP = CP\).
Почему перекличка: седьмая геометрия окна на равенство углов + вписанность. Угловые условия с «изломом» через внутреннюю точку уже видели в 2003 P4.
Натуральное число знакопеременно, если его десятичные цифры чередуют чётность. Для каких \(n\) существует знакопеременное кратное \(n\)?
Почему не баян: теоретико-числовых конструкций было много, но объект «чередование чётности цифр» — новый. Ответ зависит от \(\gcd(n,10)\) — такого разбора в окне не было.
На сторонах равностороннего \(ABC\) выбраны точки \(A_1, A_2\) на \(BC\); \(B_1, B_2\) на \(CA\); \(C_1, C_2\) на \(AB\) — вершины выпуклого шестиугольника \(A_1A_2B_1B_2C_1C_2\) со всеми равными сторонами. Доказать: прямые \(A_1B_2,\ B_1C_2,\ C_1A_2\) конкурентны.
Почему перекличка: метрическое условие на многоугольник уже было в 2003 P3 (шестиугольник!), а конкурентность через триг-Чеву — стандартный словарь геом-кластера.
Целочисленная последовательность \(a_1, a_2, \dots\) содержит бесконечно много положительных и бесконечно много отрицательных членов. Для каждого \(n\) числа \(a_1, \dots, a_n\) дают \(n\) разных остатков при делении на \(n\). Доказать: каждое целое встречается ровно один раз.
Почему не баян: объект «последовательность — перестановка \(\mathbb{Z}\) через остатки» в окне впервые. Ни покрытий, ни порядков по модулю тут не хватает — нужен новый ход с китайскими остатками.
\(x,y,z > 0\), \(xyz \ge 1\). Доказать \(\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2} + \frac{y^5-y^2}{y^5+z^2+x^2} + \frac{z^5-z^2}{z^5+x^2+y^2} \ge 0\).
Почему перекличка: четвёртое симметричное/циклическое неравенство окна. Приём «заменить 1 на \(xyz\) и сгруппировать» — тот же словарь, что в 2000 P2 и 2001 P2.
\(a_n = 2^n + 3^n + 6^n - 1\). Найти все натуральные \(m\), взаимно простые со всеми членами последовательности.
Почему перекличка: снова «для каждого простого найти \(n\) с \(p \mid a_n\)» — тот же порядок-модульный приём, что в 2003 P6, только применённый к фиксированной последовательности.
Выпуклый \(ABCD\), \(BC = AD\), \(BC \nparallel AD\). Точки \(E \in BC\), \(F \in AD\) с \(BE = DF\) движутся; \(AC \cap BD = P\), \(BD \cap EF = Q\), \(EF \cap AC = R\). Доказать: описанные окружности всех \(\triangle PQR\) имеют общую точку, отличную от \(P\).
Почему перекличка: восьмая геометрия окна; спиральное подобие + Микель уже отработаны в 2004 P5. Новая лишь «подвижность» конфигурации.
На турнире 6 задач. Любую пару задач решило больше \(2/5\) участников. Никто не решил все 6. Доказать: есть хотя бы двое, решивших ровно по 5 задач.
Почему перекличка: та же сцена «участники × задачи», что в 2001 P3 (девочки/мальчики). Метод — подсчёт пар через задачи и оценка от противного — один в один.
В треугольнике \(ABC\) с инцентром \(I\) внутренняя точка \(P\) удовлетворяет \(\angle PBA + \angle PCA = \angle PBC + \angle PCB\). Доказать \(AP \ge AI\), равенство iff \(P = I\).
Почему перекличка: девятая геометрия окна на углы + замечательные точки. Новое — экстремальная формулировка (минимум расстояния), но словарь chase-инцентр тот же.
Правильный 2006-угольник \(P\). Диагональ хорошая, если делит границу на две части с нечётным числом сторон каждая (стороны тоже хорошие). \(P\) разрезан 2003 непересекающимися диагоналями на треугольники. Найти максимум числа равнобедренных треугольников с двумя хорошими сторонами.
Почему не баян: триангуляций и «хороших» диагоналей в окне не было вообще. Чётностный инвариант на разрезании — новый класс.
Найти наименьшее \(M\) такое, что \(|ab(a^2-b^2) + bc(b^2-c^2) + ca(c^2-a^2)| \le M(a^2+b^2+c^2)^2\) для всех вещественных \(a,b,c\).
Почему перекличка: пятое неравенство окна. Цикличность вместо симметрии — нюанс, но не новый приём: оценка однородной формы через квадрат суммы квадратов.
Найти все целые \((x, y)\) с \(1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2\).
Почему не баян: показательных диофантовых уравнений в окне не было: вся теория чисел была про делимость, порядки и конструкции. Экспонента в квадрате — новый объект.
\(P(x)\) степени \(n > 1\) с целыми коэффициентами, \(Q(x) = P(P(\dots P(x)\dots))\) (\(k\) итераций). Доказать: уравнение \(Q(t) = t\) имеет не более \(n\) целых решений.
Почему не баян: динамика итераций — новый класс в окне. Многочлены были в 2004 P2, но там уравнение с условием, а тут рост + делимость разностей.
Каждой стороне \(b\) выпуклого многоугольника \(P\) приписана максимальная площадь треугольника со стороной \(b\), целиком лежащего в \(P\). Доказать: сумма приписанных площадей не меньше удвоенной площади \(P\).
Почему не баян: экстремальное приписывание с суммированием по сторонам — новый приём. Геометрия тут лишь язык, задача — комбинаторно-оценочная.
Даны \(a_1,\dots,a_n\). Для каждого \(i\) пусть \(d_i = \max_{j \le i} a_j - \min_{j \ge i} a_j\), \(d = \max_i d_i\). (a) Для любых \(x_1 \le \dots \le x_n\) выполнено \(\max_i |x_i - a_i| \ge d/2\). (b) Найдутся \(x_1 \le \dots \le x_n\) с равенством.
Почему не баян: теории приближений в окне не было: ни минимакса, ни альтернанса. Неравенства были только алгебраическими, а тут — аналитическое.
\(ABCD\) — параллелограмм, \(BCED\) вписанный. Прямая \(\ell\) через \(A\) пересекает отрезок \(DC\) в \(F\) и прямую \(BC\) в \(G\); при этом \(EF = EG = EC\). Доказать: \(\ell\) — биссектриса \(\angle DAB\).
Почему перекличка: десятая геометрия окна; связка «вписанность + равные отрезки + биссектриса» полностью в словаре кластера.
Дружба взаимна. Клика — группа попарно дружащих (меньше двух — тоже клика). Наибольшая клика чётна. Доказать: участников можно рассадить в две комнаты так, что наибольшие клики в комнатах равны.
Почему не баян: графов в окне не было: комбинаторика была про подсчёты, разбиения и замощения. Клики и разбиение вершин — новый язык.
В \(\triangle ABC\) биссектриса \(\angle BCA\) пересекает описанную окружность в \(R\), серединный перпендикуляр к \(BC\) в \(P\), к \(AC\) в \(Q\). \(K, L\) — середины \(BC, AC\). Доказать: площади \(\triangle RPK\) и \(\triangle RQL\) равны.
Почему перекличка: одиннадцатая геометрия; середины, серединные перпендикуляры и биссектрисы — весь словарь кластера в одной задаче.
\(a, b\) натуральные. Если \(4ab - 1 \mid (4a^2 - 1)^2\), доказать \(a = b\).
Почему перекличка: спуск Виета уже открыт в 2003 P2 — и вот он вернулся почти дословно: зафиксировать значение, спускать большее решение. Жанровый баян, хотя задача знаменитая.
\(S = \{(x,y,z) : x,y,z \in \{0,\dots,n\},\ x+y+z > 0\}\) — \((n+1)^3 - 1\) точек. Найти минимальное число плоскостей, покрывающих \(S\), но не содержащих \((0,0,0)\).
Почему не баян: покрытий в 3D плоскостями в окне не было (замощение 2004 P3 — плоское и другим методом). Исключение одной точки делает задачу нетривиальной.
Остроугольный \(ABC\) с ортоцентром \(H\). Окружность через \(H\) с центром в середине \(BC\) пересекает прямую \(BC\) в \(A_1, A_2\); аналогично \(B_1, B_2\) на \(CA\) и \(C_1, C_2\) на \(AB\). Доказать: все шесть точек лежат на одной окружности.
Почему перекличка: двенадцатая геометрия окна; ортоцентр + середины + concyclicity — весь словарь кластера. Нового слова нет.
(a) Для вещественных \(x,y,z \ne 1\) с \(xyz = 1\) доказать \(\frac{x^2}{(x-1)^2} + \frac{y^2}{(y-1)^2} + \frac{z^2}{(z-1)^2} \ge 1\). (b) Равенство достигается для бесконечно многих рациональных троек.
Почему перекличка: шестое неравенство окна с условием \(xyz=1\) — дословный возврат к 2000 P2. Новое лишь пункт (b) про бесконечную серию.
Доказать: бесконечно много \(n\) таких, что у \(n^2+1\) есть простой делитель \(> 2n + \sqrt{2n}\).
Почему перекличка: снова «порядок по модулю + оценка размера» из 2003 P6 / 2005 P4, теперь для значений \(n^2+1\). Метод тот же, полином другой.
Найти все \(f: (0,+\infty) \to (0,+\infty)\) с \(\frac{f(w)^2+f(x)^2}{f(y^2)+f(z^2)} = \frac{w^2+x^2}{y^2+z^2}\) для всех положительных \(w,x,y,z\) с \(wx = yz\).
Почему перекличка (слабая): третье уравнение на функцию в окне. Секретной структуры как в 2002 P5 нет — честные подстановки, но жанр уже открыт дважды.
\(2n\) ламп (вкл/выкл), сначала все выключены. Шаг — переключить одну лампу. \(N\) — число последовательностей из \(k\) шагов (\(k \ge n\), \(k-n\) чётно), приводящих к «первые \(n\) горят, остальные нет», причём лампы \(n+1..2n\) никогда не включались. \(M\) — то же без запрета. Найти \(N/M\).
Почему не баян: процессов переключения с запретом в окне не было. Комбинаторика была статичной (подсчёты, разбиения), а тут — динамика последовательностей.
Выпуклый \(ABCD\), \(|BA| \ne |BC|\). \(\omega_1, \omega_2\) — вписанные окружности \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\). Есть окружность \(\omega\), касающаяся лучей \(BA\) за \(A\), \(BC\) за \(C\) и прямых \(AD, CD\). Доказать: общие внешние касательные к \(\omega_1, \omega_2\) пересекаются на \(\omega\).
Почему перекличка (слабая): конфигурация вписанных окружностей с внешней касательной — новая, но леммы касания вписанной (из 2000 P6) и гомотетии кластера уже в словаре.
\(n\) натуральное; различные \(a_1,\dots,a_k \in \{1,\dots,n\}\) (\(k \ge 2\)), \(n \mid a_i(a_{i+1}-1)\) при \(i = 1..k-1\). Доказать: \(n \nmid a_k(a_1-1)\).
Почему перекличка (пограничная): делимости с \(\gcd\)-погоней уже были (2002 P3, 2000 P5). Новое — циклический запрет, но метод перемножения условий тот же. Граница 40 пройдена на 2 очка.
В \(\triangle ABC\) с центром описанной \(O\) точки \(P \in CA\), \(Q \in AB\) внутри сторон. \(K, L, M\) — середины \(BP, CQ, PQ\); окружность \(\Gamma\) через \(K, L, M\) касается прямой \(PQ\). Доказать \(OP = OQ\).
Почему перекличка: четырнадцатая геометрия; середины отрезков + касание — дословно словарь 2007 P4 и кластера.
Строго возрастающие натуральные \(s_1, s_2, \dots\) таковы, что и \(s_{s_1}, s_{s_2}, \dots\), и \(s_{s_1+1}, s_{s_2+1}, \dots\) — арифметические прогрессии. Доказать: сама \(s_n\) — арифметическая прогрессия.
Почему не баян: самоприменимых индексных трюков в окне не было. Арифметические прогрессии встречались лишь как условие равенства в неравенствах, а тут — структурная теорема.
В \(\triangle ABC\) с \(AB = AC\) биссектрисы \(\angle CAB\) и \(\angle ABC\) встречают \(BC, CA\) в \(D, E\). \(K\) — инцентр \(\triangle ADC\). Если \(\angle BEK = 45^\circ\), найти все возможные \(\angle CAB\).
Почему перекличка: пятнадцатая геометрия; биссектрисы + инцентр + «найти угол» — прямой возврат к 2001 P5 (там тоже биссектрисы и числовой ответ \(80^\circ\)).
Найти все \(f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) такие, что для любых \(a, b\) существует невырожденный треугольник со сторонами \(a,\ f(b),\ f(b+f(a)-1)\).
Почему перекличка (слабая): четвёртое уравнение на функцию. Новое — условие через неравенство треугольника (ограничение роста), но жанр открыт трижды.
Различные натуральные \(a_1,\dots,a_n\), \(M\) — набор из \(n-1\) натуральных, не содержащий \(s = \sum a_i\). Кузнечик стартует в 0 и делает \(n\) прыжков вправо длинами \(a_i\) в некотором порядке. Доказать: порядок можно выбрать так, чтобы он ни разу не приземлился в \(M\).
Почему не баян: перестановки были (2001 P4), но задача об избегании множества при накоплениях — новый сюжет. Жадность + экстремальный принцип тут работают иначе.
Найти все \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) с \(f(\lfloor x \rfloor y) = f(x)\lfloor f(y) \rfloor\) для всех вещественных \(x, y\).
Почему перекличка: пятое уравнение на функцию в окне. Целая часть — новый гарнир, но метод (подстановки в 0 и 1, расщепление на случаи) тот же, что в 2008 P4.
\(I\) — инцентр \(\triangle ABC\), \(\Gamma\) — описанная. \(AI\) пересекает \(\Gamma\) в \(D\). \(E\) на дуге \(BDC\), \(F\) на \(BC\): \(\angle BAF = \angle CAE < \frac{1}{2}\angle BAC\). \(G\) — середина \(IF\). Доказать: \(DG\) и \(EI\) пересекаются на \(\Gamma\).
Почему перекличка: шестнадцатая геометрия; инцентр + середины + окружность — словарь кластера слово в слово. Паскаль — лишь оформление.
Найти все \(g: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) такие, что \((g(m)+n)(g(n)+m)\) — точный квадрат при всех \(m, n\).
Почему перекличка (слабая): шестое уравнение на функцию. Новое — арифметика квадратов через показатели простых, но жанр открыт пять раз.
\(P\) внутри \(\triangle ABC\) (\(CA \ne CB\)). \(AP, BP, CP\) пересекают описанную \(\Gamma\) в \(K, L, M\). Касательная в \(C\) встречает \(AB\) в \(S\). Из \(SC = SP\) доказать \(MK = ML\).
Почему перекличка: семнадцатая геометрия; касательная + равные отрезки + вывод про середины/равенства — словарь кластера.
Шесть коробок \(B_1..B_6\), в каждой по монете. Операции: (a) из непустой \(B_j\) (\(j \le 5\)) убрать монету и добавить две в \(B_{j+1}\); (b) из непустой \(B_k\) (\(k \le 4\)) убрать монету и обменять содержимое \(B_{k+1}, B_{k+2}\). Можно ли за конечное число шагов опустошить \(B_1..B_5\), оставив в \(B_6\) ровно \(201020102010\) монет?
Почему не баян: игр с операциями над ящиками в окне не было. Инвариант тут — не раскраска и не потенциал из старых задач, а весовая сумма с обменом.
Положительные \(a_1, a_2, \dots\) и \(s\) такие, что \(a_n = \max_{1 \le k \le n-1}(a_k + a_{n-k})\) при всех \(n > s\). Доказать: найдутся \(\ell \le s\) и \(N\) с \(a_n = a_\ell + a_{n-\ell}\) при всех \(n \ge N\).
Почему не баян: субаддитивных последовательностей и лемм типа Фекете в окне не было. Экстремальные последовательности — новый класс.
Для множества \(A = \{a_1,a_2,a_3,a_4\}\) различных натуральных пусть \(s_A\) — сумма, \(n_A\) — число пар \(i < j\) с \(a_i+a_j \mid s_A\). Найти все \(A\) с наибольшим возможным \(n_A\).
Почему перекличка: делимости с размерными ограничениями уже были (2009 P1, 2002 P3). Новое — оптимизация по множеству, но метод «большой делитель малой суммы» тот же.
Конечное множество \(S\) точек (не меньше двух, никакие три не коллинеарны). Мельница: прямая \(\ell\) через точку-пивот \(P \in S\) вращается по часовой до первой встречи с другой точкой \(Q \in S\); \(Q\) — новый пивот, и т.д. Доказать: можно выбрать старт так, чтобы каждая точка была пивотом бесконечно много раз.
Почему не баян: процессы были (блохи 2000 P3, лампы 2008 P5), но вращательный процесс с передачей пивота — другая механика. Дальний родственник блох, не повтор.
\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) с \(f(x+y) \le yf(x) + f(f(x))\) для всех \(x, y\). Доказать \(f(x) = 0\) при всех \(x \le 0\).
Почему не баян: уравнений на функцию было шесть — но все равенства. Неравенство с линейным по \(y\) членом требует другой техники (фиксация \(x\), варьирование \(y\)).
Гири \(2^0, 2^1, \dots, 2^{n-1}\) кладут по одной на чаши весов так, чтобы правая никогда не была тяжелее левой. Сколькими способами можно это сделать?
Почему не баян: подсчёт последовательностей с ограничением был (лампы 2008 P5), но двоичные веса дают единственность представления — новый структурный факт, меняющий подсчёт.
\(f: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}\) с \(f(m-n) \mid f(m)-f(n)\) для всех целых \(m, n\). Доказать: из \(f(m) \le f(n)\) следует \(f(m) \mid f(n)\).
Почему не баян (пограничная): уравнений на функцию было семь, но делимостных — ни одного. Техника через выбор простых и рост — новая; округлено вниз честно.
Остроугольный \(ABC\) с описанной \(\Gamma\). Касательная \(\ell\) к \(\Gamma\) отражается в прямых \(BC, CA, AB\) в \(\ell_a, \ell_b, \ell_c\). Доказать: описанная окружность треугольника из \(\ell_a, \ell_b, \ell_c\) касается \(\Gamma\).
Почему перекличка: восемнадцатая геометрия; отражения + касание окружностей — словарь кластера. Конфигурация красивая, но слова старые.
\(J\) — центр A-вневписанной \(\triangle ABC\); касания с \(BC, AB, AC\) — \(M, K, L\). \(LM \cap BJ = F\), \(KM \cap CJ = G\); \(AF \cap BC = S\), \(AG \cap BC = T\). Доказать: \(M\) — середина \(ST\).
Почему перекличка: девятнадцатая геометрия; контактный треугольник (привет, 2000 P6!) + Чева/Менелай — словарь кластера.
\(a_2,\dots,a_n > 0\), \(\prod a_i = 1\) (\(n \ge 3\)). Доказать \((1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots(1+a_n)^n > n^n\).
Почему перекличка: седьмое неравенство окна с условием на произведение. Веса-степени — нюанс, метод (AM-GM + произведение) тот же.
A загадывает \(1 \le x \le N\) (N сообщает B). B задаёт вопросы «\(x \in S\)?»; A может лгать, но среди любых \(k+1\) подряд ответов есть правдивый. Затем B называет множество \(X\) из \(\le n\) чисел; выигрыш iff \(x \in X\). Доказать: (a) при \(n \ge 2^k\) B гарантирует победу; (b) при больших \(k\) есть \(n \ge 1.99^k\) где B не гарантирует.
Почему не баян (почти уникум): антагонистического поиска с ложью в окне не было. Игры были (монеты, лампы), но теория вопросных стратегий — новый язык. До звезды не хватило 2 очка.
Найти все \(f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\) такие, что при \(a+b+c = 0\) выполнено \(f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2 = 2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a)\).
Почему перекличка (слабая): девятое уравнение на функцию. Условие на нулевой сумме — как в 2004 P2 (\(ab+bc+ca=0\)), метод подстановок тот же.
В \(\triangle ABC\) с \(\angle C = 90^\circ\) высота из \(C\) падает в \(D\). \(X\) внутри \(CD\); \(K\) на \(AX\) с \(BK = BC\); \(L\) на \(BX\) с \(AL = AC\); \(M = AL \cap BK\). Доказать \(MK = ML\).
Почему перекличка: двадцатая геометрия; конструкция «отложить равный отрезок» — дословно 2007 P2, вывод про равенство — словарь кластера.
Для каких \(n\) существуют неотрицательные \(a_i\) с \(\sum 2^{-a_i} = \sum i\cdot 3^{-a_i} = 1\)?
Почему перекличка (слабая): степени двойки/тройки с единственностью разложения — прямой возврат к 2011 P4 (двоичные веса) и весовым инвариантам 2010 P5.
Для любых натуральных \(k, n\) доказать: найдутся натуральные \(m_1,\dots,m_k\) с \(\frac{n+2^k-1}{n} = \left(1+\frac{1}{m_1}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{m_k}\right)\).
Почему не баян: конструкций было много, но телескопическое произведение дробей вида \((m+1)/m\) с 2-адическим разбором — новый трюк в окне.
2013 красных + 2014 синих точек, никакие три не коллинеарны. Набор прямых хорош, если ни одна не проходит через точку и ни одна область не содержит оба цвета. Найти минимальное \(k\) такое, что для любой колумбийской конфигурации есть хороший набор из \(k\) прямых.
Почему не баян: разделения двух цветов прямыми в окне не было. Задача на минимакс с конструкцией и оценкой — новый сюжет.
Вневписанная против \(A\) касается \(BC\) в \(A_1\); аналогично \(B_1, C_1\). Центр описанной \(\triangle A_1B_1C_1\) лежит на описанной \(\triangle ABC\). Доказать: \(\triangle ABC\) прямоугольный.
Почему перекличка: точки касания вневписанных — дословно 2012 P1 годом ранее. Двадцать первая геометрия окна.
Остроугольный \(ABC\) с ортоцентром \(H\); \(W\) на \(BC\). \(M, N\) — основания высот из \(B, C\). \(\omega_1\) — описанная \(\triangle BWN\), \(WX\) — её диаметр; \(\omega_2\) — описанная \(\triangle CWM\), \(WY\) — её диаметр. Доказать: \(X, Y, H\) коллинеарны.
Почему перекличка: ортоцентр + основания высот — дословно 2008 P1. Двадцать вторая геометрия; словарь кластера без новых слов.
\(f: \mathbb{Q}_{>0} \to \mathbb{R}\) с \(f(x)f(y) \ge f(xy)\), \(f(x+y) \ge f(x)+f(y)\) и \(f(a) = a\) при некотором рациональном \(a > 1\). Доказать \(f(x) = x\) для всех положительных рациональных.
Почему перекличка: ФУ-неравенство уже открыто в 2011 P3 — и вот второе. Метод захвата через двусторонние оценки тот же.
На окружности \(n+1\) равноотстоящих точек (\(n \ge 3\)); разметки числами \(0..n\) с точностью до поворота. Разметка красива, если для любых \(a Почему не баян: разметок с условием непересечения по арифметическому условию в окне не было. Связь с суммами Эйлера — новый мост.
Строго возрастающие натуральные \(a_0 < a_1 < \dots\). Доказать: есть ровно одно \(n \ge 1\) с \(a_n < \frac{a_0+\dots+a_n}{n} \le a_{n+1}\).
Почему не баян (пограничная): последовательности были (2005 P2, 2009 P3, 2010 P6), но трюк с монотонными разностями \(b_n = \sum (a_n - a_i)\) — новый. Прошло под границей честно.
На \(n \times n\) доске \(n\) ладей мирно (в каждой строке и столбце по одной). Найти наибольшее \(k\) такое, что при любой мирной расстановке есть пустой \(k \times k\) квадрат.
Почему не баян (пограничная): перестановки были в 2001 P4, но пустой подквадрат с оценкой через \(\sqrt{n}\) — новый вопрос. Округлено вниз честно.
В выпуклом \(ABCD\) углы \(ABC\) и \(CDA\) прямые; \(H\) — основание из \(A\) на \(BD\). \(S \in AB\), \(T \in AD\); \(H\) внутри \(\triangle SCT\); \(\angle CHS - \angle CSB = 90^\circ\), \(\angle THC - \angle DTC = 90^\circ\). Доказать: \(BD\) касается описанной \(\triangle TSH\).
Почему перекличка: двадцать третья геометрия; прямые углы + основания + касание — словарь кластера без новых слов.
На \(BC\) остроугольного \(ABC\) точки \(P, Q\) с \(\angle PAB = \angle BCA\), \(\angle CAQ = \angle ABC\). \(M \in AP\) с серединой \(P\) отрезка \(AM\); \(N \in AQ\) с серединой \(Q\) отрезка \(AN\). Доказать: \(BM\) и \(CN\) пересекаются на описанной \(\triangle ABC\).
Почему перекличка: двадцать четвёртая геометрия; середины + угловые равенства — дословно 2009 P2 и словарь кластера.
Банк выпускает монеты \(1/n\) каждого номинала. Конечный набор монет суммой \(\le 99\frac{1}{2}\) разбить не более чем на 100 групп суммой \(\le 1\) каждая. Доказать: возможно.
Почему не баян: упаковки (bin packing) с гармоническими номиналами в окне не было. Жадность по убыванию + оценка хвоста — новый сюжет.
Прямые в общем положении (никакие две не параллельны, никакие три не конкурентны) делят плоскость; конечные области — их. Доказать: при больших \(n\) среди любых \(n\) прямых можно покрасить \(\ge \sqrt{n}\) в синий так, что ни одна конечная область не имеет целиком синей границы.
Почему не баян: вероятностного метода в окне не было вообще. Случайная раскраска + удаление плохих — новый язык для страницы.
Конечное множество точек \(S\) сбалансировано, если для любых разных \(A, B \in S\) есть \(C \in S\) с \(AC = BC\); свободно от центра, если никакие \(P \in S\) не равноудалены от трёх разных точек \(S\). (a) Для любого \(n \ge 3\) есть сбалансированное из \(n\) точек. (b) Для каких \(n \ge 3\) есть сбалансированное свободное от центра?
Почему не баян: сбалансированных множеств в окне не было. Точечные конфигурации были (мельница 2011 P2), но условие через серединные перпендикуляры — новый язык.
Найти все натуральные \(a, b, c\) такие, что \(ab-c,\ bc-a,\ ca-b\) — степени двойки (включая \(2^0 = 1\)).
Почему перекличка: делимости с размерной погоней уже были (2011 P1, 2009 P1). Новое — степени двойки вместо произвольных делителей, но метод упорядочить + взять \(\gcd\) тот же.
Остроугольный \(ABC\) (\(AB > AC\)), \(\Gamma\) — описанная, \(H\) — ортоцентр, \(F\) — основание высоты из \(A\), \(M\) — середина \(BC\). \(Q \in \Gamma\) с \(\angle HQA = 90^\circ\); \(K \in \Gamma\) с \(\angle HKQ = 90^\circ\). Доказать: описанные \(\triangle KQH\) и \(\triangle FKM\) касаются.
Почему перекличка: двадцать пятая геометрия; ортоцентр + основания + касание окружностей — словарь 2013 P4 и 2008 P1 дословно.
Описанная \(\Omega\) с центром \(O\). Окружность \(\Gamma\) с центром \(A\) пересекает \(BC\) в \(D, E\) (порядок \(B, D, E, C\)). \(\Gamma \cap \Omega = \{F, G\}\). \(K = (BDF) \cap AB\), \(L = (CGE) \cap AC\); \(X = FK \cap GL\). Доказать: \(X\) лежит на \(AO\).
Почему перекличка: двадцать шестая геометрия; пересечения окружностей + степени + вывод про линию центров — словарь кластера.
Решить \(f(x+f(x+y)) + f(xy) = x + f(x+y) + yf(x)\) для \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\).
Почему перекличка: десятое уравнение на функцию. Вложенность \(f(x+f(x+y))\) — новый гарнир, но метод подстановок в нули и единицы тот же.
Целые \(1 \le a_j \le 2015\), причём \(k+a_k\) попарно различны. Доказать: найдутся \(b, N\) такие, что \(\left|\sum_{j=m+1}^{n}(a_j-b)\right| \le 1007^2\) при всех \(n > m \ge N\).
Почему не баян: условие «\(k+a_k\) различны» с ограниченностью частичных сумм в окне впервые. Последовательности были, но такого усреднения не было.
Выпуклый \(ABCDE\) (\(\angle B > 90^\circ\)); \(F\) на \(AC\) с \(\angle FBC = 90^\circ\); \(FA = FB\), \(DA = DC\), \(EA = ED\); лучи \(AC, AD\) трисекут \(\angle BAE\). \(M\) — середина \(CF\); \(X\) с параллелограммом \(AMXE\). Доказать: \(FX, EM, BD\) конкурентны.
Почему перекличка: двадцать седьмая геометрия; равнобедренные + середины + конкурентность — словарь кластера.
Для каких \(n\) таблицу \(n \times n\) можно заполнить буквами I, M, O так, чтобы в каждой строке и столбце была треть I, треть M, треть O, и на любой диагонали с числом клеток, кратным трём, — тоже по трети?
Почему перекличка (пограничная): раскрасочные подсчёты по модулю уже были (2006 P2, 2004 P3). Новое — буквы IMO и диагонали, но метод подсчёта по модулю 3 тот же.
Выпуклый \(P = A_1\dots A_k\) с целыми координатами вершин, вписанный в окружность, площадь \(S\). Нечётное \(n\): квадраты длин сторон целые и делятся на \(n\). Доказать: \(2S\) целое и делится на \(n\).
Почему не баян: моста «решётка + делимость + площадь» в окне не было. Пик-подобные формулы встречались? Нет — вообще ничего решётчатого.
Множество натуральных ароматно, если в нём \(\ge 2\) элементов и у каждого есть общий простой делитель хоть с одним другим. \(P(n) = n^2+n+1\). Найти минимальное \(b\) такое, что при некотором \(a \ge 0\) множество \(\{P(a+1),\dots,P(a+b)\}\) ароматно.
Почему не баян: «ароматности» в окне не было: покрытие значений многочлена общими делителями — новый сюжет, хотя метод (решето по модулям) классический.
На доске \((x-1)\cdots(x-2016) = (x-1)\cdots(x-2016)\) (по 2016 множителей с каждой стороны). За сколько минимум стираний \(k\) (по обеим сторонам остаётся хоть что-то) уравнение останется без вещественных решений?
Почему не баян: пазлов со стиранием множителей в окне не было. Многочлены были, но вопрос «убить все вещественные корни минимумом стираний» — новый.
\(n \ge 2\) отрезков, любые два пересекаются, никакие три не конкурентны. На конец каждого сажают лягушку носом к другому концу; по хлопку каждая прыгает до следующего пересечения. Можно ли рассадить так, чтобы никакие две никогда не встретились в одной точке одновременно? (a) \(n\) нечётно — да; (b) \(n\) чётно — нет.
Почему не баян: процессы с прыжками были (мельница 2011 P2 — родственник), но синхронные прыжки по пересечениям с чётностным ответом — другая механика.
Для \(a_0 > 1\): \(a_{n+1} = \sqrt{a_n}\), если корень целый, иначе \(a_n + 3\). При каких \(a_0\) найдётся \(A\) со значением \(a_n = A\) бесконечно много раз?
Почему не баян: динамических последовательностей с ветвлением «корень/прибавь» в окне не было. Ответ \(a_0 \equiv 0 \pmod 3\) читается через инвариант, а не через рост.
Решить \(f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy)\) для \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\).
Почему перекличка: одиннадцатое уравнение на функцию. Вложенность \(f(f(x)f(y))\) — новый гарнир, метод подстановок тот же.
Кролик и охотник стартуют вместе. Каждый раунд: кролик сдвигается на 1 (невидимо); трекер сообщает точку \(P_n\) с \(P_nA_n \le 1\); охотник сдвигается на 1 (видимо). При \(N = 10^9\): может ли охотник гарантировать \(A_NB_N < 100\)?
Почему не баян: непрерывной погони с шумным трекингом в окне не было. Игры были дискретными (лжец 2012 P3), а тут — плоскость и ошибки измерения.
\(R, S\) на окружности \(\Omega\) (\(RS\) не диаметр); \(\ell\) — касательная в \(R\); \(T\) с серединой \(S\) отрезка \(RT\). \(J\) на малой дуге \(RS\); окружность \(\Gamma = (JST)\) пересекает \(\ell\) в двух точках, ближняя к \(R\) — \(A\). \(AJ\) встречает \(\Omega\) в \(K\). Доказать: \(KT\) касается \(\Gamma\).
Почему перекличка: двадцать восьмая геометрия; касательная + степени + спираль — словарь кластера.
\(N(N+1)\) футболистов разного роста в шеренге. Удалить \(N(N-1)\) так, чтобы осталось \(2N\) и для каждой пары рангов \((1,2), (3,4), \dots\) между ними никто не стоял. Доказать: возможно.
Почему не баян: задач про удаление с условием соседства рангов в окне не было. Перестановки были, но этот «парный» отбор — новый.
Примитивная точка решётки: \((x,y)\) целые с \(\gcd(x,y) = 1\). Для любого конечного множества \(S\) примитивных точек доказать: есть непостоянный однородный \(f(x,y)\) с целыми коэффициентами и \(f = 1\) на \(S\).
Почему не баян: мост «однородные формы + решётка» новый (решётка была в 2016 P3, но другим боком). Конструкция через китайские остатки — свежая.
Остроугольный \(ABC\) с описанной \(\Gamma\). \(D \in AB\), \(E \in AC\) с \(AD = AE\). Серединные перпендикуляры к \(BD\) и \(CE\) пересекают малые дуги \(AB, AC\) в \(F, G\). Доказать: \(DE \parallel FG\).
Почему перекличка: двадцать девятая геометрия; равные отрезки + серединные перпендикуляры + параллельность — словарь кластера.
Для каких целых \(n \ge 3\) существуют вещественные \(a_1,\dots,a_n\) с \(a_ia_{i+1}+1 = a_{i+2}\) (индексы по модулю \(n\))?
Почему не баян (пограничная): динамика была в 2017 P1, но циклическое замыкание с вопросом периодичности — другой вопрос. Инвариант рекуррентности новый.
Анти-треугольник Паскаля: кроме нижней строки каждое число — модуль разности двух под ним. Есть ли такой из 2018 строк, содержащий все числа \(1..(1+2+\dots+2018)\)?
Почему не баян: разностных треугольников с полным набором чисел в окне не было. Конструкции были, но этот объект — новый.
Сетка \(20 \times 20\); Эми и Бен по очереди ставят камни (Эми первая); Эми нельзя ставить на расстояние \(\sqrt{5}\) от своего камня. Игра до упора. Наибольшее \(K\) такое, что Эми гарантирует \(\ge K\) камней?
Почему не баян: позиционные игры на решётке с метрическим запретом в окне впервые. Игры были (лжец 2012 P3), но механика захвата территории — другая.
Бесконечная последовательность натуральных \(a_n\) и \(N\): при всех \(n \ge N\) выражение \(\frac{a_1}{a_2}+\dots+\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1}\) целое. Доказать: \((a_n)\) eventually постоянна.
Почему не баян: целочисленность циклических сумм отношений с выводом постоянства — новый сюжет. Делимости были, но такого «замка» не было.
Выпуклый \(ABCD\) с \(AB\cdot CD = BC\cdot DA\). Внутренняя \(X\): \(\angle XAB = \angle XCD\), \(\angle XBC = \angle XDA\). Доказать \(\angle BXA + \angle DXC = 180^\circ\).
Почему перекличка: тридцатая геометрия; спиральное подобие с угловыми условиями — дословно 2004 P5 и 2005 P5.
Решить на целых \(f(2a) + 2f(b) = f(f(a+b))\).
Почему перекличка: двенадцатое уравнение на функцию. Метод (сравнить \(P(0,x)\) и \(P(x,0)\) → аддитивность) — стандартный словарь жанра.
\(A_1 \in BC\), \(B_1 \in AC\); \(P \in AA_1\), \(Q \in BB_1\) с \(PQ \parallel AB\). \(P_1\) на луче \(PB_1\) за \(B_1\) с \(\angle PP_1C = \angle BAC\); \(Q_1\) на луче \(QA_1\) за \(A_1\) с \(\angle CQ_1Q = \angle CBA\). Доказать: \(P_1, Q_1, P, Q\) concyclic.
Почему перекличка: тридцать первая геометрия; параллель + вписанные четырёхугольники — словарь кластера.
2019 пользователей; операция: для несмежных \(B, C\) с общим другом \(A\) — сделать \(BC\) рёбром, а \(AB, AC\) удалить. Сначала у 1009 по 1010 друзей, у 1010 по 1009. Доказать: можно дойти до «у всех \(\le 1\) друга».
Почему не баян: графы были (клики 2007 P3), но динамика переписывания рёбер с инвариантом — новый процесс. Вопрос достижимости, а не существования.
Решить в натуральных \(k! = (2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\cdots(2^n-2^{n-1})\).
Почему не баян (пограничная): показательные диофантовы были (2006 P4), но факториал против произведения сдвигов степеней двойки + 2-адический подсчёт — новый сюжет.
\(n\) монет в ряд (H/T). Шаг: если орлов \(k > 0\), перевернуть \(k\)-ю слева; иначе стоп. Доказать: процесс всегда останавливается; найти среднее число шагов по всем \(2^n\) стартам.
Почему не баян: детерминированных процессов с вопросом о среднем времени в окне не было. Процессы были, но «среднее по всем стартам» — новый вопрос.
\(I\) — инцентр, \(\omega\) — вписанная; касания \(D, E, F\). Через \(D \perp EF\) встречает \(\omega\) в \(R\); \(AR\) встречает \(\omega\) в \(P\). Описанные \(\triangle PCE\), \(\triangle PBF\) пересекаются в \(Q\). Доказать: \(DI\) и \(PQ\) пересекаются на внешней биссектрисе \(\angle A\).
Почему перекличка: тридцать вторая геометрия; инцентр + точки касания + радикальные оси — дословно 2010 P2 и словарь кластера.
Выпуклый \(ABCD\), внутренняя \(P\): \(\angle PAD:\angle PBA:\angle DPA = 1:2:3 = \angle CBP:\angle BAP:\angle BPC\). Доказать: биссектрисы \(\angle ADP\), \(\angle PCB\) и серединный перпендикуляр к \(AB\) конкурентны.
Почему перекличка: тридцать третья геометрия; угловые пропорции + биссектрисы + серединный перпендикуляр — словарь кластера.
\(a \ge b \ge c \ge d > 0\), \(a+b+c+d = 1\). Доказать \((a+2b+3c+4d)a^ab^bc^cd^d < 1\).
Почему перекличка: восьмое неравенство; взвешенное AM-GM с весами-показателями — дословно 2012 P2. Новое лишь упорядочивание \(a \ge b \ge c \ge d\).
\(4n\) камешков весов \(1..4n\), \(n\) цветов по 4 камешка. Разложить в две кучки равного веса так, чтобы в каждой было по 2 камешка каждого цвета.
Почему не баян: одновременного баланса по двум параметрам (вес + цвет) в окне не было. Разбиения были, но двойное условие — новое.
\(n^2\) станций на разных высотах; компании A и B по \(k\) кабинок вверх (разные старты/финиши, монотонность). Связность — достижимость кабинками. Найти минимальное \(k\), при котором гарантированы две станции, связанные обеими компаниями.
Почему не баян: достижимости в ориентированных графах с монотонностью в окне не было. Графы были, но этот «двойной reachability» — новый.
На \(n > 1\) картах числа; среднее арифметическое чисел на любой паре карт равно среднему геометрическому чисел на некотором наборе из \(\ge 1\) карт. При каких \(n\) отсюда следует равенство всех чисел?
Почему не баян: условия замкнутости через средние в окне не было. Неравенства были, но «AM пары = GM поднабора» — новый тип условия.
\(n > 1\) точек, попарные расстояния \(\ge 1\). Доказать: есть разделяющая множество прямая \(\ell\) на расстоянии \(\ge \Omega(n^{-1/3})\) от всех точек.
Почему не баян: асимптотических оценок с дробными степенями в окне не было. Дискретная геометрия была, но этот «\(\Omega\)-язык» — новый.
На картах числа \(n,\dots,2n\) (\(n \ge 100\)); их тасуют и делят в две кучки. Доказать: хоть в одной кучке есть две карты с суммой — точным квадратом.
Почему не баян: граф «сумма — квадрат» на отрезке \([n,2n]\) в окне впервые. Разбиения были, но этот граф с тройкой последовательных квадратов — новый.
Для любых вещественных \(x_1,\dots,x_n\) доказать \(\sum_{i,j}\sqrt{|x_i-x_j|} \le \sum_{i,j}\sqrt{|x_i+x_j|}\).
Почему перекличка: девятое неравенство; двойные суммы с характеризацией были в 2003 P5 и 2007 P1. Новое — корни из модулей, метод упорядочивания тот же.
\(D\) внутри остроугольного \(ABC\) (\(AB > AC\)) на биссектрисе \(A\). \(E \in AC\) с \(\angle ADE = \angle BCD\); \(F \in AB\) с \(\angle FDA = \angle DBC\); \(X \in AC\) с \(CX = BX\). \(O_1, O_2\) — центры \((ADC), (EXD)\). Доказать: \(BC, EF, O_1O_2\) конкурентны.
Почему перекличка: тридцать четвёртая геометрия; угловые условия + центры окружностей + конкурентность — словарь кластера.
Выпуклый \(ABCD\) описан около \(\Gamma\) с центром \(I\). \(\Omega = (AIC)\); продолжения \(BA, BC, AD, CD\) встречают \(\Omega\) в \(X, Z, Y, T\). Доказать \(AD+DT+TX+XA = CD+DY+YZ+ZC\).
Почему перекличка: тридцать пятая геометрия; касательные длины + описанные окружности — дословно 2008 P6 и словарь кластера.
2021 орех в круге лунок в случайном порядке. На \(k\)-м ходу меняют местами двух соседей ореха \(k\). Доказать: найдётся \(k\), где меняют \(a, b\) с \(a < k < b\).
Почему не баян: перестановки соседними обменами были (кузнечик 2009 P6), но условие «обмен через \(k\)» с порядковым неравенством — новый вопрос про процесс сортировки.
Конечное \(A \subset \mathbb{Z}\); \(B_1,\dots,B_m \subset A\) с суммой элементов \(m^k\) в \(B_k\). Доказать: \(|A| \ge m/2\).
Почему не баян: подмножеств с предписанными степенными суммами в окне не было. Оценки размера через рост сумм — новый сюжет.
\(n\) алюминиевых + \(n\) бронзовых монет в ряд. Цепочка — макс. серия подряд одного типа. Фиксировано \(k \le 2n\); ход: самую длинную цепочку с \(k\)-й монетой перенести в начало. При каких \((n,k)\) для любого старта первые \(n\) монет когда-нибудь станут одного типа?
Почему не баян: детерминированные процессы были (монеты Гарри 2019 P5), но перенос блоков в начало с параметром \(k\) — другая механика. Ответ \(n \le k \le \lfloor 3n/2\rfloor\) читается через число блоков.
Найти все \(f: \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}_{>0}\) такие, что для каждого \(x\) есть ровно один \(y\) с \(xf(y) + yf(x) \le 2\).
Почему не баян (пограничная): уравнений на функцию было двенадцать, но с квантором единственности — ни одного. Техника (единственность форсирует симметрию) новая.
\(k\) натуральное, \(S\) — конечное множество нечётных простых. Доказать: не более чем одним способом (с точностью до поворота/отражения) их можно рассадить по кругу так, чтобы произведение соседей имело вид \(x^2+x+k\).
Почему не баян: круговых рассадок с условием на произведения соседей в окне не было. Квадратичная форма \(x^2+x+k\) как фильтр — новый объект.
Выпуклый \(ABCDE\) с \(BC = DE\); внутри \(T\) с \(TB = TD\), \(TC = TE\), \(\angle ABT = \angle TEA\). Прямые \(AB \cap CD = P\) (порядок \(P,B,A,Q\) с \(Q = AB \cap CT\)), \(AE \cap CD = R\), \(AE \cap DT = S\). Доказать: \(P, S, Q, R\) concyclic.
Почему перекличка: тридцать шестая геометрия; равные отрезки + спираль + вписанность — словарь кластера.
Найти все тройки натуральных \((a,b,p)\) с простым \(p\) и \(a^p = b! + p\).
Почему перекличка: показательные диофантовы с факториалами уже были (2019 P4 — факториал!, 2006 P4). Метод «размер + модуль» тот же.
Нордический квадрат: \(n \times n\) с числами \(1..n^2\). Восходящий путь: старт в долине (меньше ортогональных соседей), шаги по соседству со строгим ростом. Найти минимум суммарного числа восходящих путей по всем квадратам.
Почему не баян: путей из локальных минимумов с вопросом минимума по всем заполнениям в окне не было. Сеточные подсчёты были, но этот объект — новый.
Найти все составные \(n > 1\) такие, что для всех делителей \(d_1 < \dots < d_k\) выполнено \(d_i \mid d_{i+1}+d_{i+2}\).
Почему перекличка: делители с соседскими условиями — дословно 2002 P4 (там сумма произведений). Ответ «степени простых» читается через два наименьших простых.
Остроугольный \(ABC\) (\(AB < AC\)), \(\Omega\) — описанная, \(S\) — середина дуги \(CB\) с \(A\). Высота из \(A\) встречает \(BS\) в \(D\) и \(\Omega\) в \(E\). Прямая через \(D \parallel BC\) встречает \(BE\) в \(L\). \(\omega = (BDL)\) встречает \(\Omega\) в \(P\). Доказать: касательная к \(\omega\) в \(P\) встречает \(BS\) на биссектрисе \(\angle BAC\).
Почему перекличка: тридцать седьмая геометрия; середина дуги + параллель + касательная — словарь кластера.
При \(k \ge 2\) найти все бесконечные последовательности натуральных \(a_n\), для которых есть унитарный многочлен \(P\) с неотрицательными целыми коэффициентами и \(P(a_n) = a_{n+1}\cdots a_{n+k}\).
Почему не баян: рекуррентностей через значения многочлена в окне не было. Динамика была, но связь «многочлен = произведение следующих» — новый объект.
Различные положительные \(x_1,\dots,x_{2023}\): числа \(a_n = \sqrt{(x_1+\dots+x_n)(1/x_1+\dots+1/x_n)}\) целые при всех \(n\). Доказать \(a_{2023} \ge 3034\).
Почему не баян: целочисленности выражений вида \((\sum x)(\sum 1/x)\) с выводом роста в окне не было. Коши + арифметика — новый гибрид.
Японский треугольник: \(n\) строк, в \(i\)-й строке \(i\) кружков, ровно один красный. Путь ниндзя: сверху вниз по соседям. Найти наибольшее \(k\) такое, что в любом треугольнике есть путь с \(\ge k\) красными.
Почему не баян: путей по треугольной решётке с adversarial раскраской в окне не было. Сеточные пути были (2022 P6), но минимакс с раскраской — новый.
Равносторонний \(ABC\); внутренние \(A_1, B_1, C_1\) с \(BA_1 = A_1C\), \(CB_1 = B_1A\), \(AC_1 = C_1B\) и \(\angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B = 480^\circ\). \(A_2 = BC_1 \cap CB_1\) и т.д. Если \(\triangle A_1B_1C_1\) разносторонний, доказать: описанные \((AA_1A_2), (BB_1B_2), (CC_1C_2)\) проходят через две общие точки.
Почему перекличка: тридцать восьмая геометрия; равные отрезки + соосность окружностей — словарь кластера (привет, 2018 P6!).
Найти все вещественные \(\alpha\) такие, что \(\lfloor\alpha\rfloor+\lfloor2\alpha\rfloor+\dots+\lfloor n\alpha\rfloor\) делится на \(n\) при всех \(n\).
Почему не баян: делимостей сумм целых частей в окне не было. Ответ «чётные целые» читается через сдвиг \(\alpha \pm 2\), а не через оценки.
При каких натуральных \((a,b)\) последовательность \(\gcd(a^n+b,\ b^n+a)\) eventually постоянна?
Почему перекличка: трюк «подставить \(n = -1\)» (через \(M = ab+1\)) — дословно из решения 2005 P4. Ответ \((1,1)\) — та же механика.
Бесконечная последовательность натуральных; при \(n > N\) число \(a_n\) равно числу вхождений \(a_{n-1}\) в \((a_1,\dots,a_{n-1})\). Доказать: хоть одна из подпоследовательностей нечётных/чётных индексов eventually периодична.
Почему не баян: самоописывающихся последовательностей в окне не было. Динамика была, но подсчёт вхождений как правило перехода — новый объект.
\(AB < AC < BC\), \(I\) — инцентр. \(X \in BC\): прямая через \(X \parallel AC\) касается вписанной; \(Y \in BC\): прямая через \(Y \parallel AB\) касается вписанной. \(AI\) встречает описанную в \(P\); \(K, L\) — середины \(AC, AB\). Доказать \(\angle KIL + \angle YPX = 180^\circ\).
Почему перекличка: тридцать девятая геометрия; инцентр + середины + касательные — словарь 2019 P6 и кластера.
Сетка \(2024 \times 2023\); в каждой строке кроме первой и последней по монстру, в разных столбцах. Турбо идёт сверху вниз по соседним клеткам; на монстре попытка кончается, память о посещённых остаётся. Найти минимальное \(n\): стратегия гарантирует низ не более чем за \(n\) попыток при любой расстановке.
Почему не баян: поисковые игры были (лжец 2012 P3, охотник 2017 P3), но обучение между попытками с памятью посещённых — новая механика. Вопрос про число попыток, а не стратегию одного прохода.
\(f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}\) аквасульская, если при всех \(x, y\) выполнено \(f(x+f(y)) = f(x)+y\) или \(f(f(x)+y) = x+f(y)\). Доказать: значения \(f(r)+f(-r)\) принимают \(\le c\) разных значений при uniform \(c\); найти минимальное \(c\).
Почему не баян: уравнений на функцию было тринадцать, но с дизъюнкцией «или» — ни одного. Техника ветвления по выбору дизъюнкта новая.
Прямая солнечная, если не параллельна ни \(Ox\), ни \(Oy\), ни \(x+y=0\). При \(n \ge 3\): какие \(k\) возможны как число солнечных среди \(n\) различных прямых, покрывающих все точки \((a,b)\) натуральные с \(a+b \le n+1\)?
Почему не баян (ровно на границе): прямые с экстремальным вопросом были в 2013 P2, но там разделение цветов, а тут покрытие треугольной сетки с подсчётом солнечных. Метод длинных прямых новый.
Окружности \(\Omega, \Gamma\) с центрами \(M, N\) (\(r_\Omega < r_\Gamma\)) пересекаются в \(A, B\). \(MN\) встречает их в \(C, D\) (порядок \(C,M,N,D\)). \(P\) — центр описанной \(ACD\); \(AP\) встречает окружности в \(E, F\). \(H\) — ортоцентр \(PMN\). Доказать: прямая через \(H \parallel AP\) касается описанной \(BEF\).
Почему перекличка: сороковая геометрия; две окружности + ортоцентр + касательная — словарь кластера.
\(f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) бонза, если \(f(a) \mid b^a - f(b)^{f(a)}\) при всех \(a, b\). Найти минимальное \(c\) с \(f(n) \le cn\) для всех бонза \(f\) и всех \(n\).
Почему перекличка: делимостные ФУ уже были (2011 P5, 2010 P3). Новое — оценка роста через \(\nu_2\) и Дирихле, но жанр открыт.
Все члены последовательности натуральные с \(\ge 3\) собственными делителями; \(a_{n+1}\) — сумма трёх наибольших собственных делителей \(a_n\). Найти все возможные \(a_1\).
Почему перекличка (слабая): целочисленная динамика с инвариантом уже была в 2017 P1 (корень/+3). Механика другая (делители), но вопрос «куда сходится» тот же.
На нечётных ходах Алиса выбирает \(x_n \ge 0\) с \(\sum_{i \le n} x_i \le \lambda n\); на чётных Базза — с \(\sum_{i \le n} x_i^2 \le n\). Кто не может ходить — проиграл; бесконечность — ничья. При каких \(\lambda\) у кого есть выигрышная стратегия?
Почему не баян: игры были, но поочерёдные асимметричные ограничения с порогом \(\lambda\) — новый формат. Вопрос не «как выиграть», а «при каких \(\lambda\) кто выигрывает».
Сетка \(2025 \times 2025\); класть прямоугольные плитки по линиям сетки без наложений. В каждой строке и столбце ровно одна непокрытая клетка. Найти минимум числа плиток.
Почему перекличка (слабая): замощения с экстремальным вопросом уже были (2004 P3, 2022 P6). Новое — дырки и прямоугольники, но метод «оценка + конструкция» тот же.
На доске 2026 чисел \(> 1\). Ход: выбрать \(m, n > 1\) и заменить на \(\gcd(m,n)\) и \(\mathrm{lcm}(m,n)/\gcd(m,n)\). (a) Всегда за конечное число ходов останется ровно одно число \(M > 1\). (b) \(M\) не зависит от выбора ходов.
Почему не баян: игр с НОД/НОК-переписыванием в окне не было. Инвариант \(\gcd\) показателей по каждому простому — свежий трюк (Евклид на 2026 числах).
\(M, N\) — середины \(AB, AC\). \(K\) внутри \(BMC\), \(L\) внутри \(BNC\) (\(K\) внутри \(LBA\), \(L\) внутри \(ACK\)): \(\angle KBA = \angle ACL\), \(\angle LBK = \angle LNC\), \(\angle LCK = \angle BMK\). \(O\) — центр описанной \(AKL\). Доказать \(OM = ON\).
Почему перекличка: сорок первая геометрия; середины + угловые равенства + вписанности — словарь 2009 P2 и кластера дословно.
Палка длины 1. Лю Бан отмечает \(\le n\) точек, затем Сян Юй — \(\le n\) точек (все разные). Палку режут, куски разбирают по очереди (первый Лю Бан), каждый максимизирует свою сумму. Найти наибольшее \(c\): Лю Бан гарантирует \(\ge c\) при любом \(n\).
Почему перекличка (пограничная): игры с разметкой и дележом уже были (Турбо, inekoalaty 2025 P5). Новое — двухфазность (разметка, потом драфт), но механика гарантий та же.
Шан-Ю делает бумажный треугольник \(T\); Мулан режет его по точке \(P\) на стороне до противолежащей вершины; Шан-Ю выбрасывает половину. Если у \(T\) есть угол ровно \(\theta\) — стоп, победа Мулан. При каких \(\theta\) Мулан гарантирует победу за конечное число шагов?
Почему не баян (пограничная): игр было много, но вопрос «при каких параметрах первый игрок форсирует» с геометрическим разрезанием — новый. Порог по \(\theta\) читается через двоичные разбиения углов.
Решить на положительных \(\sqrt{\frac{x^2+f(y)^2}{2}} \ge \frac{f(x)+y}{2} \ge \sqrt{xf(y)}\). Ответ: \(f(x) = x+c\) при любом \(c \ge 0\).
Почему перекличка: пятнадцатое уравнение на функцию, третье ФУ-неравенство после 2011 P3 и 2013 P5. Сэндвич QM-AM-GM форсирует равенства тем же методом.
Бесконечная последовательность чисел \(> 1\): \(a_{n+1}\) — минимальное число \(> a_n\) с \(\gcd(a_{n+1}, a_i) > 1\) для всех \(i \le n\). Доказать: eventually арифметическая прогрессия \(a_{n+T} = a_n + L\).
Почему перекличка (слабая): целочисленная динамика с вопросом стабилизации уже была (2017 P1, 2025 P4). Жадность с НОД-условием — новая механика, но вопрос тот же.
Источники: AoPS Wiki (2000–2002), Kalva (IMO 2003), IMO Compendium PDF (IMO 1982–1999, 2004–2009), Evan Chen notes (IMO 2010–2026). Скор — экспертная оценка совпадения приёма, не автоскоринг. Формулы — KaTeX (CDN; без сети видны как исходники). Обновляется: каждая новая задача пересчитывает скоры ниже по списку.